1Modul

Vektorok, erők megadása

Minden statikai számítás itt kezdődik: hogyan írunk le egy erőt számokkal, hogyan adunk össze erőket, és mit jelent az, hogy egy test egyensúlyban van.

Komponensekre bontás
Vektorműveletek
Erőrendszerek fajtái
Egyenértékűségi kijelentés
Egyensúly, zéruserő
Skaláris és vektoriális szorzat
Térbeli vektorok

Elmélet Kidolgozott feladatok Kalkulátorok Gyakorlás

1. rész

Elmélet

Tizenegy rövid alfejezet, a tankönyv 2.4. és 3.1–3.3. fejezetének gondolatmenetén. Az ábrákat próbáld ki: a mozgatható ábrák többet tanítanak, mint tíz sor magyarázat.

1.1 Mi az erő, és mivel adjuk meg?

Az erő a testek kölcsönhatásának mértéke: olyan hatás, amely a test mozgásállapotát vagy alakját megváltoztathatja. Vektormennyiség — nem elég megmondani, hogy mekkora, azt is tudni kell, merre hat és hol támad. Egy erőt négy adat jellemez: a támadáspont, a hatásvonal (a támadásponton át az erővektorral párhuzamosan húzott egyenes), a nagyság és az irány a hatásvonalon belül.

Mivel egy erő hatása attól is függ, hol támad (egy seprűnyelet a végén vagy a közepén megfogva más erőt kell kifejtenünk ugyanahhoz a vödörhöz), az erő kötött vektor: a támadáspont hozzátartozik. A megadásához ezért a támadáspontba mutató $\underline{r}$ helyvektor és az $\underline{F}$ erővektor együtt kell — síkban ez 2 + 2 = 4 szám, térben 3 + 3 = 6 szám. (A 2. modulban megjelenő nyomaték ezzel szemben szabad vektor lesz.)

Az erő mindig kölcsönhatásból származik: ha az egyik test erőt fejt ki a másikra, a másik ugyanakkora és ellentett erővel hat vissza — ez a hatás–ellenhatás törvénye. Merev testek statikájában az erő a saját hatásvonala mentén szabadon eltolható anélkül, hogy a test egyensúlya megváltozna; ez teszi lehetővé, hogy erőrendszereket egyszerűbb, egyenértékű rendszerekkel helyettesítsünk.

Az erő megadása helyvektorral és erővektorral (tankönyv 3.1–3.2)

\underline{r} = \begin{bmatrix} r_x \\ r_y \end{bmatrix},\ \underline{F} = \begin{bmatrix} F_x \\ F_y \end{bmatrix}\ (\text{síkban: 4 szám})\qquad \underline{r} = \begin{bmatrix} r_x \\ r_y \\ r_z \end{bmatrix},\ \underline{F} = \begin{bmatrix} F_x \\ F_y \\ F_z \end{bmatrix}\ (\text{térben: 6 szám})

A tankönyvben ígyHincz–Németh 3.1.2

A tankönyv háromféle jelet használ ugyanarra az erőre: $F$ (dőlt, aláhúzás nélkül) az erő nagysága, egy szám; $\underline{F}$ (aláhúzva) az erővektor, a komponensek oszlopa; a kalligrafikus $\mathcal{F}$ pedig a teljes erő a támadáspontjával együtt — ez szerepel az erőrendszerekben és az egyenértékűségi kijelentésekben. Kézírásban az aláhúzás jelöli a vektort; ezen az oldalon is így írjuk.

1. ábraAz erő négy jellemzője: támadáspont, hatásvonal, nagyság és irány.

1.2 Komponensekre bontás

Egy síkbeli erőt kétféleképpen adhatunk meg: vagy a nagyságával és a hajlásszögével, vagy a két komponensével (a koordinátatengelyekre vett merőleges vetületekkel, oszlopvektorban egymás alá írva). A kettő ugyanazt az információt hordozza, csak más alakban — és a számoláshoz szinte mindig a komponenses alak a kényelmesebb, mert komponenseket egyszerűen össze lehet adni.

Oda

Nagyságból komponensek

F_x = F\cos\alpha

F_y = F\sin\alpha

Feltéve, hogy az $\alpha$ szöget az $x$ tengelytől mértük.

Vissza

Komponensekből nagyság és irány

F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2}

\alpha = \operatorname{arctg}\frac{F_y}{F_x}

Az $\operatorname{arctg}$ csak $-90^\circ$ és $+90^\circ$ közé ad eredményt, ezért az ábra alapján mindig ellenőrizd a síknegyedet.

Próbáld ki

Húzd a vektor végét, vagy állítsd a csúszkákat.

Nagyság, F5,0 NIrányszög, α (az x tengelytől)40 °

Komponensek

F_x = F\cos\alpha = 5{,}0\cdot\cos 40^\circ = 3{,}830\ \text{N}

F_y = F\sin\alpha = 5{,}0\cdot\sin 40^\circ = 3{,}214\ \text{N}

I.síknegyed → Fx > 0, Fy > 0

A leggyakoribb hiba: felcserélt szinusz és koszinusz

A $\cos$ és a $\sin$ nem a komponenshez, hanem a szöghöz tartozik. Ha a szöget az $x$ tengelytől méred, a vízszintes komponenshez koszinusz jár. Ha viszont a rajz az $y$ tengelytől adja meg a szöget — és a feladatlapokon ez gyakran így van —, akkor felcserélődnek. Ne képletet magolj: rajzold be a derékszögű háromszöget, és nézd meg, melyik befogó van a szög mellett (szög melletti befogó / átfogó = koszinusz, szöggel szemközti befogó / átfogó = szinusz).

2. ábraUgyanaz az erő, kétféleképpen megadott szöggel. A képlet nem ugyanaz.

1.3 Vektor-szótár: egységvektor, ellentett, kivonás, skalárszoros

Néhány fogalom, amely a tankönyv 2.4. fejezetében szerepel, és amelyre a következő alfejezetek lépten-nyomon hivatkoznak.

1 hosszúságú

Egységvektor

Olyan vektor, amelynek hossza 1: $|\underline{e}| = 1$ . Csak irányt hordoz. Bármely vektorból készíthetünk egyet, ha elosztjuk a hosszával: $\underline{e}_a = \underline{a}/|\underline{a}|$ . A tengelyirányú egységvektorok:

\underline{i} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix},\quad \underline{j} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},\quad \underline{k} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}

0 hosszúságú

Nullvektor

Olyan vektor, amelynek hossza 0: $\underline{0}$ . Iránya nem meghatározott — ha kell, tetszőleges irányúnak gondolhatjuk. Az egyensúly nyelvén ez a zéruserő, jele az erőrendszereknél $\underline{O}$ . Ellentettje önmaga.

Előjelváltás

Ellentett vektor

Az $\underline{a}$ ellentettje az a vektor, amelyet hozzáadva nullvektort kapunk: $\underline{a} + (-\underline{a}) = \underline{0}$ . Komponensenként ellentett, ugyanolyan hosszú, rajzban csak a nyíl fordul meg.

\underline{a} = \begin{bmatrix} 7 \\ 10 \end{bmatrix} \ \Rightarrow\ -\underline{a} = \begin{bmatrix} -7 \\ -10 \end{bmatrix}

Ellentett hozzáadása

Kivonás

$\underline{a} - \underline{b} = \underline{a} + (-\underline{b})$ , komponensenként. Rajzban: a két vektort közös kezdőpontból mérve az $\underline{a} - \underline{b}$ a $\underline{b}$ végpontjából az $\underline{a}$ végpontjába mutat. A sorrend számít: $\underline{a} - \underline{b} = -(\underline{b} - \underline{a})$ .

\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \\ 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ -2 \\ -4 \end{bmatrix}

Nyújtás, fordítás

Szorzás skalárral

Minden komponenst ugyanazzal a számmal szorzunk. A vektor megnyúlik vagy összenyomódik, negatív skalárnál meg is fordul. A $(-1)\cdot\underline{a}$ éppen az ellentett, az $\underline{a} + \underline{a} = 2\underline{a}$ .

1{,}5\cdot\begin{bmatrix} 4 \\ -8 \\ -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ -12 \\ -4{,}5 \end{bmatrix}

Jelölés

A mértékegység a vektor elé

Fizikai vektornál minden komponens és a nagyság is ugyanazt a mértékegységet viseli. A mértékegységet ezért skalárszorzóként egyszer, a vektor mögé írjuk — nem minden elemhez külön.

\underline{F} = \begin{bmatrix} 2\ \text{kN} \\ -1\ \text{kN} \\ 3{,}2\ \text{kN} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 3{,}2 \end{bmatrix}\ \text{kN}

Próbáld ki – vektorműveletek rajzban és számmal

Húzd a nyilak végpontját. A lila nyíl az eredmény, a szaggatott a szerkesztés.

Művelet

\underline{a} = \begin{bmatrix} 4{,}0 \\ 2{,}0 \end{bmatrix},\qquad \underline{b} = \begin{bmatrix} 1{,}5 \\ 3{,}0 \end{bmatrix}

\underline{a} + \underline{b} = \begin{bmatrix} 4{,}0 + 1{,}5 \\ 2{,}0 + 3{,}0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5{,}5 \\ 5{,}0 \end{bmatrix}

|\underline{a}| = 4{,}472,\quad |\underline{a}+\underline{b}| = 7{,}433

Láncolás: a $\underline{b}$ kezdőpontját az $\underline{a}$ végpontjához toljuk, az összeg az $\underline{a}$ kezdőpontjából a lánc végébe mutat. A szürke szaggatott a paralelogramma másik oldala — ugyanoda vezet.

1.4 Vektorok összeadása

Két erő összegét szerkesztéssel a paralelogramma-szabállyal vagy a vele egyenértékű láncszabállyal (nyílfolytonos összefűzés) kapjuk meg: a második vektort az első végéhez illesztjük, és az összeg az első kezdőpontjától a második végpontjáig mutat. Több vektornál ugyanez folytatódik, így alakul ki a nyílt vektorsokszög. A sorrend közömbös: $\underline{a} + \underline{b} = \underline{b} + \underline{a}$ , és a háromszög-egyenlőtlenség miatt $|\underline{a} + \underline{b}| \le |\underline{a}| + |\underline{b}|$ .

Számításban viszont sosem szerkesztünk: komponensenként adunk össze. Ez a modul legfontosabb gyakorlati szabálya.

Az összeadás komponensenként

\underline{R} = \sum \underline{F}_i \quad\Longleftrightarrow\quad R_x = \sum F_{ix},\qquad R_y = \sum F_{iy}

3. ábraA két szerkesztési szabály ugyanarra az eredőre vezet.

Ezt jegyezd meg

Az eredő nagysága általában nem az egyes erők nagyságának összege. $|\underline{F}_1 + \underline{F}_2|$ csak akkor egyenlő $F_1 + F_2$ -vel, ha a két erő pontosan egy irányba mutat. Ha ellentétes irányúak, a különbségüket kapod.

1.5 Erőrendszerek fajtái

Ritkán vizsgáljuk egyetlen erő hatását. Egy vagy több testre ható erők csoportját erőrendszernek nevezzük, és közös zárójelben soroljuk fel az erőit: $(\underline{A}, \underline{B}, \underline{F}_1)$ . A felsorolás az erők minden tulajdonságát tartalmazza (nagyság, irány, támadáspont), a sorrend közömbös, és az erőrendszernek nem kell egy testre ható összes erőt tartalmaznia.

Az erők elhelyezkedése alapján az erőrendszer síkbeli (minden erő egy közös síkban hat) vagy térbeli; és ettől függetlenül

közös hatásvonalú, ha minden erő hatásvonala egybeesik;
közös metszéspontú, ha minden hatásvonal ugyanazon a ponton megy át;
párhuzamos, ha minden hatásvonal párhuzamos;
általános helyzetű (szétszórt), ha a fentiek egyike sem teljesül — akár egyetlen erő miatt sem.

A kettő kombinálható: „közös metszéspontú síkbeli”, „párhuzamos térbeli” stb. Ebben a modulban a közös metszéspontú erőrendszerekkel dolgozunk; a párhuzamos és a szétszórt rendszer eredőjét a 2. modulban számoljuk, mert ahhoz már a forgatónyomaték is kell.

4. ábraNégyféle erőrendszer ugyanazon a lemezen. A szaggatott vonalak a hatásvonalak.

1.6 Egyenértékűség és az egyenértékűségi kijelentés

Két erőrendszert egyenértékűnek nevezünk, ha ugyanarra a testre működtetve ugyanolyan és ugyanakkora hatást (gyorsulást, szöggyorsulást) hoznának létre — vagyis helyettesíthetők egymással. Jele az egyenlőségjel fölé tett pont:

Egyenértékűségi kijelentés (tankönyv 3.7)

(\underline{F}_1, \underline{F}_2) \ekv (\underline{F}_4, \underline{F}_5, \underline{F}_6)

A $\ekv$ jel nem a vektorok azonosságát fejezi ki, hanem kötött vektorokból álló erőrendszerek azonos hatását — ezért ezt nem egyenletnek, hanem egyenértékűségi kijelentésnek hívjuk. Egyébként úgy viselkedik, mint egy közönséges egyenlőség:

tranzitív: ha $A \ekv B$ és $A \ekv C$ , akkor $B \ekv C$ ;
mindkét oldal bővíthető ugyanazzal az erővel (és ugyanaz el is vehető mindkettőből);
egy erő átvihető a másik oldalra ellentett előjellel: mindkét oldalt kiegészítjük $-\underline{B}_3$ -mal, és a jobb oldalon a $(\underline{B}_3, -\underline{B}_3)$ pár zéruserő;
egy egyensúlyi erőrendszer hozzáadása vagy elvétele nem változtatja meg az eredőt.

Azt az egyetlen hatást, amely egyenértékű az erőrendszerrel, az erőrendszer eredőjének nevezzük ( $\underline{R}$ , az angol resultant után). Mivel egyetlen hatás, a zárójelet elhagyjuk. Ha az eredő zéruserő, az erőrendszer egyensúlyi:

Eredő

(\underline{F}_1, \underline{F}_2, \underline{F}_3) \ekv \underline{R}

Egyensúlyi erőrendszer

(\underline{G}_1, \underline{G}_2, \underline{G}_3) \ekv \underline{O}

A kijelentéseket elsősorban a feladatok kijelölésére használjuk: ha benne minden erőt hiánytalanul felsoroltunk, a belőle írt skaláregyenletekből sem marad ki semmi. A cél mindig olyan egyenlet, amelyben az ismeretlenek közül csak egy szerepel. Háromféle feladat van:

1. típus

Helyettesítés

(\underline{F}_1, \underline{F}_2, \underline{F}_3) \ekv \underline{R}

Az erőrendszert egyetlen hatással — az eredővel — vagy speciális tulajdonságú erőkkel helyettesítjük. Az ismert és az ismeretlen mennyiségek a két oldalon szétválnak.

2. típus

Egyensúlyozás

(\underline{F}_1, \underline{F}_2, \underline{C}, \underline{D}) \ekv \underline{O}

Az ismert erőkhöz olyan erőket keresünk, amelyekkel együtt az eredő zéruserő. Ez egyensúlyi kijelentés: az ismert és az ismeretlen erők ugyanazon az oldalon állnak, a jobb oldalon $\underline{O}$ .

3. típus

Kiegészítés

(\underline{A}, \underline{B}, \underline{P}) \ekv \underline{R}

A kettő keveréke: úgy adunk hozzá egy speciális $\underline{P}$ erőt, hogy az eredő is speciális (pl. vízszintes) legyen. Mindkét oldalon van ismeretlen.

Minden erőrendszer egyensúlyozható (tankönyv 3.5)

Ha ki tudjuk számítani egy erőrendszer eredőjét, $(\underline{F}_1, \underline{F}_2, \underline{F}_3) \ekv \underline{R}$ , akkor az eredő ellentettjének hozzáadásával $(\underline{F}_1, \underline{F}_2, \underline{F}_3, -\underline{R}) \ekv \underline{O}$ egyensúlyi kijelentést kapunk: minden erőrendszer egyensúlyozható az eredőjének ellentettjével. A gyakorlatban az egyetlen erő helyett több ismeretlen erővel egyensúlyozunk — ezek is a bal oldalra kerülnek.

Ezt jegyezd meg

A feladat első sora mindig a kijelentés. Előbb leírod, hogy mi mivel egyenértékű (vagy mi van egyensúlyban), és csak utána jönnek a vetületi (később nyomatéki) egyenletek — mindegyik ebből a sorból olvasható ki. A kidolgozott feladatokban ezért ez az 1. lépés.

Próbáld ki – a tankönyv 3.2. ábrája lépésenként

részeredők is látszanak

Az egyenértékűségi kijelentés alakul

$(\underline{F}_1, \underline{F}_2, \underline{F}_3, \underline{F}_4) \ekv \underline{R}$

A kiinduló egyenértékűségi kijelentés: a négy erő együtt ugyanazt a hatást fejti ki, mint az eredő.

Ugyanez számítással

\Fx 0 + 2\sin 30^\circ + 2{,}5 + 4\cos 30^\circ = R_x \;\Rightarrow\; R_x = 6{,}964\ \text{kN}\ (\rightarrow)

\Fy 2 + 2\cos 30^\circ + 0 - 4\sin 30^\circ = R_y \;\Rightarrow\; R_y = 1{,}732\ \text{kN}\ (\uparrow)

R = \sqrt{6{,}964^2 + 1{,}732^2} = 7{,}176\ \text{kN},\qquad \operatorname{tg}\alpha_R = \frac{1{,}732}{6{,}964} \;\Rightarrow\; \alpha_R = 13{,}97^\circ

A vetületi egyenletek bal oldalán a kijelentés bal oldalának erői állnak sorban, a jobb oldalon az eredő megfelelő komponense.

1.7 Egyensúly és a zéruserő

Ha egy közös metszéspontú erőrendszer eredője zéruserő, az erőrendszer egyensúlyi. Szerkesztésben ez azt jelenti, hogy a vektorsokszög bezárul: az utolsó vektor vége pontosan visszaér az első kezdőpontjába. Számításban két skalár egyenletet ad síkban, és ez a két egyenlet két ismeretlen meghatározására elég.

Síkbeli egyensúly közös metszéspontú erőkre

(\underline{F}_1, \dots, \underline{F}_n) \ekv \underline{O}\quad\Longrightarrow\quad \Fx F_{1x} + \dots + F_{nx} = 0,\qquad \Fy F_{1y} + \dots + F_{ny} = 0

Két tétel, amit tudni kell (tankönyv 3.3.1.1)

Két erő akkor van egyensúlyban, ha közös a hatásvonaluk, azonos a nagyságuk és ellentétes az irányuk.
Három erő akkor van egyensúlyban, ha közös metszéspontúak és zárt vektorháromszög szerkeszthető belőlük — ez egyben azt is megköveteli, hogy egy közös síkban legyenek.

5. ábraEgyensúly esetén a vektorháromszög zárt: nincs „maradék” vektor.

Három módszer. Szerkesztéssel két ábrát rajzolunk: a geometriai ábrán a test méretarányos rajza és a hatásvonalak, a vektorábrán az erők nagyságával arányos nyilak — a két ábra léptéke más (hossz, ill. erő), az utóbbié az erőlépték; a vektorokat a vektorábrában adjuk össze, mert ott szabadon eltolhatók. Számítással a kijelentésből vetületi (később nyomatéki) egyenleteket írunk, lehetőleg egy-egy ismeretlennel. A grafoanalitikus út a kettő keveréke: vázlat, és abban geometriai összefüggésekből egyenletek.

Miért merőleges tengelyekre? Elvileg bármely két, nem párhuzamos irányba írhatnánk vetületi egyenletet, jobb oldalon $R\cos\alpha_R$ -rel és $R\sin\alpha_R$ -rel — de az kétismeretlenes, nemlineáris egyenletrendszer volna. Ha az eredőre a két merőleges komponensével gondolunk, és az egyenleteket ezekkel párhuzamosan írjuk, a másik komponens mindig kiesik: két egyismeretlenes egyenletet kapunk.

A tankönyvben ígyHincz–Németh 3.3.1.2

A tankönyv minden vetületi egyenlet elején kiírja az egyenlet jellegét és a pozitív irányt: $\Fx F_{1x} + F_{2x} + F_{3x} = R_x$ , $\Fy F_{1y} + F_{2y} + F_{3y} = R_y$ . Így egy soron következő erő komponensénél elég az irányát a nyíllal összevetni az előjelhez — és bármilyen szünet után folytatható, mert a sor elején ott áll, mit csinálunk.

1.8 Vetítés tetszőleges tengelyre

A komponens tulajdonképpen vetület: az $F_x$ nem más, mint az erő vetülete az $x$ tengelyre. Semmi nem köti meg azonban, hogy csak a koordinátatengelyekre vetítsünk — bármilyen $t$ irányra ugyanúgy megtehetjük, és a képlet is ugyanaz marad, csak a bezárt szöget kell jól meghatározni.

Vetület egységvektorral

F_t = F\cos\vartheta = \underline{F}\cdot\underline{e}_t = F_x e_{tx} + F_y e_{ty}

Itt $\vartheta$ az erő és a tengely által bezárt szög, $\underline{e}_t$ pedig a tengely irányába mutató egységvektor. Ha a bezárt szög tompaszög, a vetület negatív: az erő „hátrafelé” mutat a tengely irányához képest. A vetítés lineáris művelet, ezért az egyes vetületek összege mindig megegyezik az eredő vetületével — ez kiváló ellenőrzési lehetőség.

Próbáld ki – forgasd a t tengelyt

A pontok a nyilak merőleges vetületei a t tengelyen.

A t tengely iránya125 °Vetítővonalak mutatása

Erő	bezárt szög	Fit [N]
F₁	85°	+0,436
F₂	125°	−3,441
F₃	170°	−7,878
F₄	145°	−3,277
Σ Fit		-14,161

Amit érdemes észrevenni

Az eredő vetülete $R_t = -14{,}161$ N, ugyanannyi, mint az egyes vetületek összege. A vetítés lineáris művelet: előbb összegezni és utána vetíteni ugyanaz, mint előbb vetíteni és utána összegezni.

(Az eredő: R = 15,464 N, α_R = -31,31°)

1.9 Skaláris szorzat

Két vektor szorzásánál meg kell mondanunk, mi az eredmény jellege. A skaláris (pont-) szorzat eredménye egyetlen szám, amely a két vektor hosszával és a bezárt szög koszinuszával arányos — és ugyanez a komponensekből is kiszámítható:

Skaláris szorzat kétféleképpen (tankönyv 2.16–2.17)

\underline{a}\cdot\underline{b} = |\underline{a}|\,|\underline{b}|\cos\varphi = a_x b_x + a_y b_y\ (+\, a_z b_z)

A szorzat felcserélhető ( $\underline{a}\cdot\underline{b} = \underline{b}\cdot\underline{a}$ ), és mivel a bezárt szög 0° és 180° között van, az előjel csak a szögtől függ. A tankönyv hat speciális esete:

Egységvektorral

\underline{a}\cdot\underline{e} = |\underline{a}|\cos\varphi

a másik vektor egységvektor irányú vetülete

Önmagával

\underline{a}\cdot\underline{a} = |\underline{a}|^2

a hossz négyzete

Nullvektorral

\underline{a}\cdot\underline{0} = 0

mindig nulla

Merőlegesek

\underline{a}\perp\underline{b}\ \Rightarrow\ \underline{a}\cdot\underline{b} = 0

cos 90° = 0

Azonos irány

\underline{a}\cdot\underline{b} = +|\underline{a}||\underline{b}|

φ = 0°, pozitív

Ellentétes irány

\underline{a}\cdot\underline{b} = -|\underline{a}||\underline{b}|

φ = 180°, negatív

Alkalmazás

Hossz

|\underline{a}| = \sqrt{\underline{a}\cdot\underline{a}} = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}

Alkalmazás

Két vektor szöge

\cos\varphi = \frac{\underline{a}\cdot\underline{b}}{|\underline{a}|\,|\underline{b}|} = \frac{a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z}{|\underline{a}|\,|\underline{b}|}

Próbáld ki – a szorzat előjele és a vetület

Húzd a végpontokat. A vastag sáv a b vetülete az a irányára. 90° közelében az ábra „bekattan”.

Geometriával

|\underline{a}||\underline{b}|\cos\varphi

= 5{,}220\cdot 4{,}472\cdot\cos 46{,}7^\circ

= 16{,}000

Komponensekkel

a_x b_x + a_y b_y

= 5{,}00\cdot2{,}00 + 1{,}50\cdot4{,}00

= 16{,}000

a · b = 16,000 — pozitív — hegyesszög

\underline{a} = \begin{bmatrix} 5{,}00 \\ 1{,}50 \end{bmatrix},\quad \underline{b} = \begin{bmatrix} 2{,}00 \\ 4{,}00 \end{bmatrix},\quad \cos\varphi = \frac{16{,}000}{5{,}220\cdot4{,}472} = 0{,}6854

A két számítás mindig ugyanazt adja — a skaláris szorzat a két vektor közös jellemzője, nem a koordináta-rendszeré. A vetület: $\underline{b}\cdot\underline{e}_a = |\underline{b}|\cos\varphi$ , itt $3{,}065$ . Az előjel csak a szögtől függ: hegyesszög +, tompaszög −, derékszög 0.

1.10 Térbeli vektorok

Térben semmi új nem történik, csak egy harmadik komponens is megjelenik. Az összeadás továbbra is komponensenként zajlik, a hosszt a térbeli Pitagorasz-tétel adja, az irányt pedig a tengelyekkel bezárt szögek — az úgynevezett iránykoszinuszok — írják le. A három szög nem független: a nagyság és a három szög négy adat volna, de köztük egy összefüggés van.

|\underline{F}| = \sqrt{F_x^2 + F_y^2 + F_z^2}

\cos\alpha_x = \frac{F_x}{|\underline{F}|},\quad \cos\alpha_y = \frac{F_y}{|\underline{F}|},\quad \cos\alpha_z = \frac{F_z}{|\underline{F}|}

\cos^2\alpha_x + \cos^2\alpha_y + \cos^2\alpha_z = 1\quad(\text{ellenőrzés})

Térbeli közös metszéspontú erőrendszer eredőjét három vetületi egyenlettel számoljuk: $\Fx \dots = R_x$ , $\Fy \dots = R_y$ , $\Fz \dots = R_z$ .

6. ábraTérbeli erő és három komponense.

1.11 Vektoriális szorzat

A vektoriális (kereszt-) szorzat eredménye vektor: $\underline{a}\times\underline{b}$ merőleges mindkét vektorra (a síkjukra), nagysága a két vektor által kifeszített paralelogramma területe, $|\underline{a}||\underline{b}|\sin\varphi$ , irányítását a jobbkéz-szabály adja. A sorrend számít: $\underline{a}\times\underline{b} = -\underline{b}\times\underline{a}$ . Párhuzamos vektorok szorzata nullvektor (a paralelogramma elfajul), és a nullvektorral vett szorzat is nullvektor. A 2. modulban ez adja a nyomatékot: $\underline{M}_P = \underline{r}\times\underline{F}$ .

Az egységvektorok szorzatai

\underline{i}\times\underline{j} = \underline{k},\quad \underline{j}\times\underline{k} = \underline{i},\quad \underline{k}\times\underline{i} = \underline{j},\qquad \underline{i}\times\underline{i} = \underline{j}\times\underline{j} = \underline{k}\times\underline{k} = \underline{0}

\underline{j}\times\underline{i} = -\underline{k},\quad \underline{k}\times\underline{j} = -\underline{i},\quad \underline{i}\times\underline{k} = -\underline{j}

Komponensekkel (tankönyv 2.20)

\underline{a}\times\underline{b} = \begin{bmatrix} a_y b_z - a_z b_y \\ a_z b_x - a_x b_z \\ a_x b_y - a_y b_x \end{bmatrix}

Determinánsos kifejtés (tankönyv 2.21)

\underline{a}\times\underline{b} = \begin{vmatrix} \underline{i} & \underline{j} & \underline{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}

A determinánst úgy fejtjük ki, hogy az első sor elemeit pozitív előjellel szorozzuk a tőlük jobbra-lefelé, negatív előjellel a balra-lefelé lépve elérhető elemekkel — a szélén a másik oldalon folytatva. Nézd végig lépésenként:

Nézd végig – a determináns hat átlója

Zöld: jobbra-lefelé átló, + előjel · piros: balra-lefelé átló, − előjel. A szélen átlépünk a másik oldalra.

A képlet épül — 0 / 6 átló

\underline{a}\times\underline{b} = \ ?

Számpélda — írd át a komponenseket

a =xyz

b =xyz

\underline{a}\times\underline{b} = \begin{bmatrix} 2\cdot6 - 3\cdot5 \\ 3\cdot4 - 1\cdot6 \\ 1\cdot5 - 2\cdot4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ 6 \\ -3 \end{bmatrix}

Ellenőrzés: az eredmény merőleges mindkettőre — $\underline{a}\cdot(\underline{a}\times\underline{b}) = 0$ , $\underline{b}\cdot(\underline{a}\times\underline{b}) = 0$ .

Térben is látható

A 2. modulban a Film3DVektorSzorzat forgatható jelenete mutatja, hogyan áll merőlegesen a szorzat a két vektor síkjára, és mekkora a paralelogramma. Ott a szorzat már a nyomaték lesz.

Szótár: ahogy itt mondjuk, és ahogy a tankönyv

Itt és a gyakorlaton	A tankönyvben	Megjegyzés
irányszög ( $\alpha$ )	hajlásszög	A tengellyel bezárt szög; a tankönyv térben α, β, γ-t ír.
zérusvektor, $\underline{0}$	nullvektor; erőrendszernél zéruserő, $\underline{O}$	Ugyanaz: 0 hosszúságú vektor.
lánc-szabály, „tip-to-tail”	nyílfolytonos összefűzés, nyílt vektorsokszög	Zárt vektorsokszög = egyensúly.
bezárt szög $\vartheta$ (vetítésnél)	$\varphi_{ab}$ (skaláris szorzatnál)	Mindig 0° és 180° közötti.
a komponensek összege = eredő	$(\underline{F}_1, \underline{F}_2) \ekv \underline{R}$ , majd $\Fx$ , $\Fy$	Előbb a kijelentés, aztán a vetületi egyenletek.
egységvektor $\underline{e}$	$\underline{e}$ ; tengelyirányban $\underline{i}, \underline{j}, \underline{k}$	Hossza 1.

2. rész

Kidolgozott feladatok

A gyakorlat három feladata, lépésenként, a tankönyv írásmódjával: az első lépés mindig a kijelentés. Először mindig próbáld meg magad — a lépések csak akkor érnek valamit, ha van mihez hasonlítanod.

GYF‑1

Három térbeli vektor összege

⏱ 1 percA1. gyakorlat

Feladat

Határozd meg az alábbi három vektor összegét!

\underline{F}_1 = \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \\ 6 \end{bmatrix}\ \text{kN},\quad \underline{F}_2 = \begin{bmatrix} -3 \\ 4 \\ -9 \end{bmatrix}\ \text{kN},\quad \underline{F}_3 = \begin{bmatrix} 8 \\ 11 \\ -10 \end{bmatrix}\ \text{kN}

Megoldás

0 / 4 lépés

Előbb próbáld meg magad! Ha elakadtál, tárd fel a megoldást lépésenként.

Ugyanez 3D-ben – forgatható jelenet

A 3D jelenet betöltése…

GYF‑2

Négy erő: komponensek, összeg és vetületek

⏱ 8 percA1. gyakorlat

Feladat

Az ábrán négy erő látható: $F_1 = 5\ \text{N}$ , $F_2 = 6\ \text{N}$ , $F_3 = 8\ \text{N}$ , $F_4 = 4\ \text{N}$ .

a) Írd fel a négy vektor elemeit! b) Határozd meg a négy vektor összegét! c) Határozd meg a négy vektor vetületét a $t$ tengelyre!

A feladat ábrája: négy erő és a ferde t tengely.

Megoldás

0 / 7 lépés

Előbb próbáld meg magad! Ha elakadtál, tárd fel a megoldást lépésenként.

Ugyanez filmen – nézd végig, hogyan áll össze az eredő

FilmGYF‑2 · Négy erő eredője lépésről lépésre6 fejezet · 22 s

Kattints egy fejezetre az ugráshoz, vagy húzd az idősávot.

GYF‑3

A hiányzó erő egyensúly esetén

⏱ 5 percA1. gyakorlat

Feladat

Az ábrán látható három vektor összege zérusvektor. Az $\underline{F}_1$ és $\underline{F}_2$ vektorok nagysága egyaránt $150\ \text{N}$ .

Számítsd ki az $\underline{F}_3$ vektor elemeit, a vektor nagyságát és irányát!

A feladat ábrája: két ismert és egy ismeretlen erő.

Megoldás

0 / 6 lépés

Előbb próbáld meg magad! Ha elakadtál, tárd fel a megoldást lépésenként.

Ugyanez filmen – a vektorsokszög bezárul

FilmGYF‑3 · A hiányzó erő: a vektorsokszög bezárul5 fejezet · 15 s

Egyensúlynál a lánc mindig visszaér a kiindulópontba — a hiányzó erő az, ami bezárja.

3. rész

Kalkulátorok

Ugyanazok a számítások tetszőleges adatokkal. Használd a házi feladat ellenőrzésére, vagy arra, hogy ráérezz, mi hogyan változik.

Síkbeli erőrendszer eredője

Legfeljebb négy erő, nagysággal és irányszöggel megadva. A nyilak végét húzni is lehet, és a láncszabály kapcsolóval megnézheted a vektorsokszöget is.

Vektorok összeadása

Húzd bármelyik nyíl végét. Láncszabálynál az eredő az origóból a lánc végéig mutat.

F1N°

F2N°

F3N°

–	Fx [N]	Fy [N]
F1	+3,830	+3,214
F2	+6,000	+0,000
F3	+3,381	−7,250
R	13,211	-4,037

R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = 13{,}814\ \text{N}

\alpha_R = \operatorname{arctg}\frac{R_y}{R_x} = -16{,}99^\circ

Térbeli vektorok összege

Komponensekkel megadott vektorok összege, az eredő hossza és a tengelyekkel bezárt szögei. Alaphelyzetben a GYF‑1 adatai vannak betöltve.

Térbeli vektorok összege

Vektor	x	y	z	nagyság
F1				8,06
F2				10,30
F3				16,88
R	10,00	17,00	-13,00	23,62

Eredő

\underline{R} = \begin{bmatrix} 10{,}00 \\ 17{,}00 \\ -13{,}00 \end{bmatrix}\ \text{kN}

|\underline{R}| = \sqrt{R_x^2+R_y^2+R_z^2} = 23{,}622\ \text{kN}

Az eredő iránya (tengelyekkel bezárt szögek)

\cos\alpha_x = \tfrac{R_x}{|R|} \Rightarrow \alpha_x = 65{,}0^\circ

\alpha_y = 44{,}0^\circ

\alpha_z = 123{,}4^\circ

Mire használd a kalkulátort

Arra, hogy ellenőrizz, ne arra, hogy helyetted számoljon. A zárthelyin nem lesz nálad — a kalkulátor akkor ér valamit, ha előbb papíron megcsinálod a feladatot, és utána nézed meg, egyezik-e.

4. rész

Gyakorlás

Minden feladat új számokkal generálódik, az „új feladat” gombbal pedig végtelen sokat kaphatsz. A megoldást csak akkor nézd meg, ha már próbálkoztál.

Előbb játssz – a szemed is tanuljon

Játék

Zárd be a sokszöget!

1 / 5. kör0 pont

Egy csomópontban 2–3 erő hat. A vektorábrában felépül a lánc — te pedig a csomópontból húzd ki azt az erőt, amelyik egyensúlyba hozza a rendszert. Ha jó, a sokszög bezárul.

Aztán az ötlet – fogalmi kvíz

KvízÉrted, vagy csak számolod?

Tizenkét kérdés a modul tipikus félreértéseiről. Minden válasz után rövid magyarázat.

Kérdések betöltése…

Hibakereső – találd meg a hibát

HibakeresőKomponensek — melyik szögfüggvény?1 / 4

Az alábbi megoldás egy helyen hibás. Kattints arra a lépésre, ahol a hiba van!

F = 20 kN, az erő a függőlegestől (az y tengelytől) 30°-kal jobbra dől felfelé. Add meg a komponenseket!

Számolós gyakorlás

További feladattípusok

Mikor mehetsz tovább

Akkor vagy készen ezzel a modullal, ha a komponensekre bontást és az eredő számítását öt feladatból ötször hibátlanul megcsinálod — és ami fontosabb: az előjelek is automatikusan jönnek, nem kell gondolkodnod rajtuk. És ha minden feladatot a kijelentéssel kezdesz. A következő modulban ugyanezeket a lépéseket fogod használni, csak már a nyomatékkal együtt.