5Modul

Egyszerű tartók reakciói

Eddig erőrendszereket adtunk össze és egyensúlyoztunk ki. Most a test kap támaszokat: ebben a modulban megtanulod, mit csinál egy görgő, egy csukló vagy egy befogás, hogyan cseréled le őket reakciókra, és hogyan írod fel úgy a három egyensúlyi egyenletet, hogy mindegyikben csak egy ismeretlen legyen.

Kényszerek és fokszámuk
Elkülönítés, szabadtest-ábra
Egyensúlyi kijelentés
Egyismeretlenes egyenletek
Kéttámaszú tartó, konzol, rúddal megtámasztott tartó
Ellenőrzés és eredményvázlat

Elmélet Kidolgozott feladatok Kalkulátorok Gyakorlás

1. rész

Elmélet

A tartószámítás első lépése mindig ugyanaz: a támaszokat reakciókra cseréljük, és kimondjuk, hogy a terhek és a reakciók együtt egyensúlyi erőrendszert alkotnak. A többi már a 2. modul: vetületi és nyomatéki egyenletek — csak most ügyesen kell megválasztani őket.

5.1 Szerkezet, tartó, teher, reakció

Egy gerenda a két végén feltámasztva, egy erkélylemez a falba fogva, egy előtető egy ferde rúdra függesztve: mindegyik egyszerű tartó. Ami közös bennük: egyetlen merev test, amely kényszerekkel — más szóval támaszokkal — kapcsolódik a környezetéhez, és bármilyen elrendezésű külső teher mellett egyensúlyban marad.

A kényszer dolga, hogy a megtámasztott pont egyes elmozdulás-komponenseit megakadályozza. És ha megakadályoz egy elmozdulást, akkor cserébe erőt (vagy nyomatékot) ad át a testre. Ezeket az átadott erőket és nyomatékokat nevezzük reakcióknak. A terheletlen tartó zérus reakciókkal is egyensúlyban van — a nem nulla reakció mindig a terhekből ered. Ezért hívja a tankönyv a terheket aktív, a reakciókat passzív erőknek.

A kényszer fokszáma

A kényszer fokszáma a megakadályozott elmozdulás-komponensek száma. Ugyanennyi skalár adattal írható le a támaszról a testre átadódó reakció — vagyis a fokszám azt is megmondja, hány ismeretlent hoz a támasz a számításba. Görgő: 1, támasztórúd: 1, csukló: 2, befogás: 3.

5.2 A négy kényszer

Az építőmérnöki gyakorlatban négy síkbeli kényszer fordul elő szinte kizárólag. Mindegyikhez tartozik egy rajzi jel, egy megengedett mozgás (szaggatottan rajzoljuk), és egy reakció, amit az elkülönítésnél a támasz helyére felveszünk.

1. ábraA négy kényszer a tankönyv 4.1–4.4. ábrája nyomán: felül a támaszjel és a megengedett mozgás, alul az elkülönítésnél felveendő reakció(k).

fokszám 1

Görgő

A gördülés síkja mentén elgurul, a pont körül el is fordul — egyedül a síkra merőleges eltolódást gátolja. A reakció egy erre a síkra merőleges erő, a támadáspontja ismert, az iránya ismert, csak a nagysága nem. Ferde gördülési síknál (merőleges szárú szögek!) az erő függőlegessel bezárt szöge megegyezik a sík vízszintessel bezárt hajlásszögével.

fokszám 1

Támasztórúd és kötél

Két végén csuklós rúd: csak a saját tengelye irányában gátolja az eltolódást. A reakció rúdirányú erő, jele $S$ , és mindig húzóerőnek tételezzük fel: a támadáspontból a rúd másik vége felé mutat. Így az előjel azt is elárulja, húzott-e a rúd ( $S > 0$ ) vagy nyomott ( $S < 0$ ). A függesztőrúd jellemzően húzott, a támasztórúd jellemzően nyomott. A kötél olyan rúd, amely csak húzni tud: rúdként számoljuk, és a végén ellenőrizzük, hogy $S > 0$ lett-e.

fokszám 2

Csukló

A pont körül a test szabadon elfordul, de sehová nem tolódhat el. A reakcióerő iránya tetszőleges lehet, csak annyit tudunk, hogy a hatásvonala átmegy a megtámasztás pontján — ezért két komponensével adjuk meg: $A_x$ és $A_y$ . (Két másik, egymásra merőleges irány is jó lenne, de a vízszintes–függőleges a szokásos; grafikus megoldásnál csak egy X-szel jelöljük a támadáspontot.)

fokszám 3

Merev befogás

A falba beépített gerenda vége sem eltolódni, sem elfordulni nem tud. Három reakció: $A_x$ , $A_y$ és az elfordulást gátló $M_A$ befogási nyomaték. A falban valójában megoszló erők adják át a reakciót, de ezeket a befogás pontjába redukált erőrendszerként kezeljük.

Lábjegyzet a tankönyvből: létezik olyan kényszer is, amely az elfordulás mellett csak egyetlen eltolódás-komponenst gátol — ez a csúszka vagy vezeték (fokszáma 2). Ritkán fordul elő, ebben a félévben nem lesz rá szükség.

A rúderő négy helyen jelenik megHincz–Németh 4.1.2

A tankönyv 4.2.d ábrája szerint egyetlen rúd rúdereje négy helyen bukkan fel: a rúd húzza a megtámasztott testet ( $S$ ), a hatás–ellenhatás elve szerint a test húzza a rudat ( $S'$ ), a rúd másik végén a rúd egyensúlyát biztosító erő húzza a rudat ( $S''$ ), ennek ellentettje pedig a földre hat ( $S'''$ ). A négy érték azonos; nyomott rúdnál mind a négy nyíl tényleges iránya megfordul. Az elnevezés — $S$ — a német der Stab rövidítése.

Próbáld ki – told meg a tartót, és nézd, mi ébred

Elkülönítés (támasz helyett reakció)

Görgő

fokszám
megakadályozott elmozdulás-komponens = ismeretlen reakcióadat

↔
szabad

↕
gátolt

↻
szabad

Reakciók az elkülönítésnél

$A$ a gördülési síkra merőleges erő

A görgő a síkja mentén elgurul és el is tud fordulni: csak a síkra merőleges eltolódást gátolja. Egyetlen reakció, ismert hatásvonallal.

5.3 Hány kényszer kell?

Egy merev test síkban háromféleképpen tud elmozdulni: két irányban eltolódhat és egy tengely körül elfordulhat. Ugyanez az egyenletek oldaláról: síkbeli erőrendszerre három független egyensúlyi egyenlet írható fel. Egy egyszerű tartót ezért úgy kell megtámasztani, hogy a támaszok fokszámainak összege legalább három legyen — és amíg pontosan három, addig az egyenletrendszernek egyértelmű megoldása van.

3 = 3

Egy befogás

Önmagában három a fokszáma: befogott konzol. Egyetlen támasz, három ismeretlen.

3 = 2 + 1

Csukló + görgő vagy rúd

A klasszikus kéttámaszú tartó, illetve a csuklóval és rúddal megtámasztott előtető.

3 = 1 + 1 + 1

Három görgő vagy rúd

Három rúddal megtámasztott gerenda — a rúd és a görgő számításilag azonosan viselkedik.

Szükséges, de nem elégséges

A „fokszámok összege három” csak szükséges feltétel. Két egyfokú kényszert és egy csuklót, vagy három egyfokút úgy is fel lehet venni, hogy valamelyik mozgást nem gátolják: három görgő, amelyek reakcióinak hatásvonala egy ponton megy át, nem tartó — a test e pont körül elfordulhat. Ugyanez a degenerált eset a kéttámaszú tartónál, ha a görgő reakciójának hatásvonala átmegy a csuklón. Ezekkel a 7. fejezet (statikai határozottság) foglalkozik; addig csak olyan tartókkal dolgozunk, ahol az egyenletrendszernek egyértelmű megoldása van.

Kényszer = előírt elmozdulásHincz–Németh 4.1.2

Építőmérnökként úgy tekintünk a támaszokra, hogy megakadályoznak egy elmozdulást. Általánosabb szemlélet, hogy a támasz előírja az adott elmozdulás értékét — ez általában nulla, de támaszsüllyedésnél vagy gyártási hibánál nem zérus is lehet. A „kényszer” szó pontosan erre utal.

5.4 A reakciószámítás receptje

A tankönyv 4.2. fejezete öt lépésben adja meg a receptet. A GYF-ek mind ezt követik — és a ZH-n is ezt a szerkezetet várják el.

1. lépés

Elkülönítés

Lerajzoljuk a szerkezetet a támaszok nélkül, és a támaszok helyére berajzoljuk az ott fellépő reakciókat (nagyságuk még ismeretlen). Ez a szabadtest-ábra.

2. lépés

Egyensúlyi kijelentés

Kimondjuk: az aktív terhek és a reakciók együtt egyensúlyi erőrendszert alkotnak, $(\underline{F}_1, \underline{p}, \underline{A}, \underline{B}) \ekv \underline{O}$ .

3. lépés

Három egyenlet

Három független skaláregyenlet (vetületi és nyomatéki) — lehetőleg úgy, hogy mindegyikben egy ismeretlen legyen.

4. lépés

Ellenőrző egyenlet

Egy eddig nem használt egyensúlyi egyenlet, amelyben már minden erő ismert: nem megoldani kell, csak megnézni, mennyire nulla.

5. lépés

Eredményvázlat

Az elkülönített szerkezet az összes rá ható erővel és nyomatékkal, a reakciók tényleges irányával és pozitív nagyságával.

A tankönyv lábjegyzete a nulladik lépésről: a nulladik lépés természetesen most is a feladat szövegének elolvasása — ha csak az a feladat, hogy színezzük ki lilára, akkor a fenti lépések értelemszerűen kihagyhatók.

Mit lehet ránézésre ellenőrizni az eredményvázlaton?

Ha van olyan erő, amelynek jobbra mutató komponense van, kell lennie olyannak is, amelynek balra — és ugyanígy fel–le.
Ha valami egy pont körül pozitív irányba forgat, kell lennie olyannak is, ami negatív irányba.
Az eredményvázlaton csak az újonnan kapott számértékek szerepelnek: pontosan három skalár adatnak kell lennie — annyi, ahány egyenletet megoldottunk.
Az ellenőrző egyenlet hibája a kerekítés nagyságrendjében legyen. Ha a hiba éppen valamelyik tag kétszerese, esélyes, hogy ott egy előjelet elrontottál.

Próbáld ki – építsd fel a szabadtest-ábrát

Szabadtest-ábra

A — csukló (fokszám 2)
még a tartón van: húzd le.
B — görgő (fokszám 1)
még a tartón van: húzd le.

Ha minden támasz helyén a megfelelő reakciók állnak, megjelenik az egyensúlyi kijelentés. A felesleges nyilat húzd vissza a tálcára.

5.5 Egyismeretlenes egyenletek — az egyenletválasztás művészete

A $\sum F_{ix},\ \sum F_{iy},\ \sum M_i^{(O)}$ egyenletrendszer receptszerű felírása három ismeretlennel működik, csak lassú és hibalehetőségekkel teli. („Hogy oldottad meg ezt az egyenletrendszert? Három ismeretlennel.”) A tankönyv ehelyett egyismeretlenes egyenletek sorozatát javasolja. Ehhez olyan egyenleteket keresünk, amelyekből a három ismeretlen közül kettő kiesik. Két dolgot kell tudni:

Mikor esik ki egy ismeretlen az egyenletből?

Egy erő nem szerepel az irányára merőleges vetületi egyenletben, és nem szerepel azokban a nyomatéki egyenletekben, amelyeket a hatásvonala valamelyik pontjára írunk fel (a karja nulla).
Egy nyomaték nem szerepel a vetületi egyenletekben.

Ebből a három recept:

egy erőt és egy nyomatékot kell kizárni → az erőre merőleges vetületi egyenlet;
két párhuzamos erőt kell kizárni → a közös irányra merőleges vetületi egyenlet;
két nem párhuzamos erőt kell kizárni → a hatásvonalaik metszéspontjára írt nyomatéki egyenlet. Ezt a metszéspontot nevezi a tankönyv a harmadik ismeretlen főpontjának.

Az egyismeretlenes egyenletnek van egy másik haszna is: ha már az elkülönítésnél látjuk, melyik egyenletből fog kijönni egy-egy reakció, gyakran előre meg tudjuk becsülni a végleges irányát — és ha jól becsültünk, pozitív számot kapunk, és nem kell az irányváltoztatással bajlódni.

Próbáld ki – hány ismeretlen marad az egyenletben?

Hatásvonalak és főpontok

Vetületi egyenlet:

tetszőleges φ0 °

Nyomatéki egyenlet a(z) A pontra

1Egyismeretlenes egyenlet

Ebből $B$ közvetlenül kiszámolható. Pont ilyet keresünk.

$A_x$ kiesik: a pont a hatásvonalán van (karja nulla)
$A_y$ kiesik: a pont a hatásvonalán van (karja nulla)
$B$ benne van, együttható (kar): 3,00 m

\Mp{A}\ \text{terhek} + 3{,}00\,B = 0

Tipp ehhez a tartóhoz: Három főpont: A (→ B), B (→ A_y), D (→ A_x). Mindhárom reakció egymástól függetlenül számolható.

5.6 A jellemző egyszerű tartók

Négy tartótípus fedi le a félév feladatainak nagy részét. Mindegyikhez a tankönyv ábrája nyomán megmutatjuk az elkülönítést és az egyenlet-stratégiát.

Kéttámaszú tartó (tankönyv 4.3.1)

2. ábraKéttámaszú tartók a tankönyv 4.5. ábrája nyomán: ferde görgővel (a, b) és vízszintes görgővel (c, d); az elkülönítésen a főpontok és az egyismeretlenes egyenletek.

Csukló + görgő: két komponens a csuklóban, egy erő a görgőben, összesen három ismeretlen. Ökölszabály: az első egyenlet mindig lehet a csuklóra írt nyomatéki egyenlet — a csuklóerő két komponensének karja ott nulla, így csak a görgő reakciója marad benne. A folytatásra több út van:

Kéttámaszú tartó, vízszintes görgő — három független egyenlet és az ellenőrzés

\Mp{A} \ \ldots + L\,B = 0 \;\Rightarrow\; B\qquad \Mp{B}\ \ldots - L\,A_y = 0 \;\Rightarrow\; A_y\qquad \Fx\ \ldots + A_x = 0 \;\Rightarrow\; A_x

\text{ellenőrzés:}\quad \Fy\ A_y + B + \sum F_{iy} \approx 0

Hibatovábbgörgetés nélkül

Mindhárom reakciót külön egyenletből

Ha a már kiszámolt reakciót nem használjuk a következő egyenletben, egy korábbi hiba nem gördül tovább. Vízszintes tartón a görgőre írt nyomatéki egyenletben sem a görgőerő, sem $A_x$ nem szerepel → $A_y$ . Ferde görgőnél a görgőerő hatásvonalának az egyik csuklóerő-komponens hatásvonalával biztosan van metszéspontja (a $D$ főpont): az arra írt nyomatéki egyenletben a másik komponens az egyetlen ismeretlen. Ha a görgőerő függőleges, ez a metszéspont nem létezik — az egyenlet vízszintes vetületi egyenletté „fajul”. Így az ellenőrzéshez mindig marad legalább egy vetületi egyenlet, és a sorrend is tetszőleges.

Gyorsabb, de kockázatosabb

A görgőerő után két vetületi

A görgőerő ismeretében egy vízszintes és egy függőleges vetületi egyenletből is kijön $A_x$ és $A_y$ . Ilyenkor a görgőerő komponenseit már a kiszámolt értékükkel írjuk be — vagyis a görgőerő számításának hibáját továbbgörgetjük. Cserébe az ellenőrző egyenletnek egy újabb nyomatéki egyenletnek kell lennie (a két vetületit elhasználtuk), amiben legalább az egyik csuklóerő-komponens biztosan szerepel.

Befogott konzol (tankönyv 4.3.2)

3. ábraBefogott konzolok a tankönyv 4.6. ábrája nyomán: vízszintes gerenda (a, b) és függőleges oszlop (c, d).

A befogás minden mozgást gátol, ezért két erőkomponenst és egy nyomatékot veszünk fel. A recept a legegyszerűbb: az $M_A$ nyomaték a vetületi egyenletekben nem szerepel, így a vízszintes vetületi egyenletből $A_x$ , a függőlegesből $A_y$ , a befogás pontjára írt nyomatéki egyenletből pedig $M_A$ jön ki. Mindkét vetületi egyenletet elhasználtuk, ezért az ellenőrzés egy másik pontra (például a szabad végre) írt nyomatéki egyenlet.

Befogott konzol

\Fx\ \ldots + A_x = 0 \;\Rightarrow\; A_x\qquad \Fy\ \ldots + A_y = 0 \;\Rightarrow\; A_y\qquad \Mp{A}\ \ldots + M_A = 0 \;\Rightarrow\; M_A

\text{ellenőrzés:}\quad \Mp{P}\ \text{(a konzol tetszőleges pontjára)} \approx 0

Csuklóval és rúddal megtámasztott tartó (tankönyv 4.3.3)

4. ábraElőtetők a tankönyv 4.7. ábrája nyomán: ferde függesztőrúddal (a, b) és függőleges támasztórúddal (c, d).

Lényegében ugyanaz, mint a kéttámaszú tartó: két komponensével ismeretlen csuklóerő, és egy erő ismert hatásvonallal — csak most ez a hatásvonal a rúd iránya, nem a gördülési síkra merőleges. Egyetlen megkötés, hogy a rúderőt húzóerőnek kell felvenni. A csuklóra írt nyomatéki egyenletből $S$ , a rúderő hatásvonalának a függőleges, illetve vízszintes csuklóerő-komponenssel vett metszéspontjára ( $C$ és $D$ főpontok) írt nyomatéki egyenletekből $A_y$ és $A_x$ — vagy szükség esetén egy vetületi egyenlet. Ellenőrzés: nyomatéki egyenlet egy általános helyzetű pontra, vagy egy vetületi egyenlet.

Három rúddal megtámasztott gerenda (tankönyv 4.3.4)

5. ábraHárom rúddal megtámasztott gerendák a tankönyv 4.8. ábrája nyomán: páronként metsző hatásvonalak (a, b) és két párhuzamos rúd (c, d).

Három ismert hatásvonalú, húzottnak feltételezett rúderő a három ismeretlen. Két-két rúderő hatásvonalának metszéspontjára — a harmadik rúderő főpontjára ( $O_1, O_2, O_3$ ) — írt nyomatéki egyenletben mindig csak a harmadik rúderő szerepel. Egyetlen kivétel, ha két rúd párhuzamos: akkor nincs metszéspontjuk, és a nyomatéki egyenlet helyett a párhuzamos rudak irányára merőleges (t irányú) vetületi egyenletből számoljuk a harmadikat. Ehhez még az sem kell, hogy a párhuzamos rudak függőlegesek legyenek.

Lábjegyzet a tankönyvből: a rúd és a görgő a számítás szempontjából azonosan viselkedik, ezért mindez érvényes a három görgővel, a két görgővel és egy rúddal, továbbá az egy görgővel és két rúddal megtámasztott tartókra is.

Próbáld ki – élő reakciók kéttámaszú tartón

Támaszköz, L6,0 mKonzol jobbra, k0,0 mErő, F12,0 kNHelye, x2,0 mIránya, β-90 °Megoszló, p0,0 kN/mp kezdete, x₁0,0 mp vége, x₂3,0 m

Aₓ

0,00 kN

A_y

8,00 kN

4,00 kN

\Mp{A}\ 2{,}00\cdot(-12{,}00) + 6{,}00\,B = 0\ \Rightarrow\ B = 4{,}00\ \text{kN}

\Mp{B}\ (-4{,}00)\cdot(-12{,}00) - 6{,}00\,A_y = 0\ \Rightarrow\ A_y = 8{,}00\ \text{kN}

\Fx\ A_x + (0{,}00) = 0\ \Rightarrow\ A_x = 0{,}00\ \text{kN}

\Fy\ 8{,}00 + (4{,}00) + (-12{,}00) = 0{,}00\ \checkmark

5.7 Grafikus megoldás röviden

Egyetlen teher esetén a reakciók szerkesztéssel is megkaphatók. Az alap a három erő egyensúlya: három erő akkor van egyensúlyban, ha közös metszéspontúak és zárt vektorháromszög szerkeszthető belőlük. A közös metszéspont egy erő hiányzó irányát adja meg, a vektorháromszög a nagyságokat. Több teher esetén előbb az eredőjüket vesszük, vagy a szuperpozíció elvével terhenként külön szerkesztünk és a reakciókat kényszerenként összegezzük.

6. ábraCsuklóval és rúddal megtámasztott előtető szerkesztése a tankönyv 4.9. ábrája nyomán: a geometriai ábrán a három hatásvonal közös M pontja, a vektorábrán a zárt háromszög.

csukló + rúd

A csuklóerő iránya a metszéspontból

A teher és a rúderő hatásvonala ismert, a csuklóerőnek csak a támadáspontja. Három erő egyensúlya miatt a csuklóerő hatásvonalának át kell mennie a másik kettő metszéspontján — ezzel a három iránnyal rajzoljuk meg a zárt vektorháromszöget, amelyben a tehervektor hossza ismert; a reakciók hosszát leolvassuk és az erőlépték szerint átváltjuk. Ha a teher hatásvonala átmegy a csuklón, a csuklóerő a teher ellentettje, a rúdban nem ébred erő.

csukló + görgő

Ha a két ismert hatásvonal párhuzamos

Függőleges teher és vízszintes görgő: nincs metszéspont. Két trükk: (1) a terhet a hatásvonala mentén két ferde komponensre bontjuk, és a két részfeladat reakcióit összegezzük; (2) a terhet kiegészítjük egy, a csuklót közvetlenül terhelő $S_0$ erővel, amelynek reakciója a csuklóban $-S_0$ , és a végén levonjuk. Grafoanalitikusan: ha tudjuk, hogy mindkét reakció függőleges, az eredőjük a teher ellentettje, és a terhet a hatásvonalak távolságával fordított arányban osztjuk fel (3.12. ábra).

három rúd

Visszavezetés a csuklós-rudas esetre

Két rúderőt helyettesítünk az eredőjükkel, amely átmegy a hatásvonalaik metszéspontján — ez játssza a „csukló” szerepét. A kapott erőt a végén felbontjuk a két rúdtengely irányába.

befogás

Reakcióerő + reakciónyomaték

A reakciók eredője a teher ellentettje: a reakcióerő a teherrel azonos nagyságú, ellentétes irányú. A teher és a reakcióerő erőpárt alkot, amelyet a befogási nyomatékkal egyensúlyozunk: nagysága erő × kar, forgásiránya szemléletből.

A tényleges szerkesztés helyett hasonló háromszögekből gyakran számolni is lehet — ezt hívja a tankönyv grafoanalitikus módszernek.

Itt és a gyakorlaton	A tankönyvben	Megjegyzés
támasz	kényszer	Ugyanaz: a megtámasztott pont elmozdulását előíró (általában megakadályozó) szerkezeti elem.
szabadtest-ábra	elkülönítés, az elkülönített szerkezet ábrája	A támaszok helyett a reakciók, az ismert terhekkel együtt.
terhek / reakciók	aktív erők / passzív erők	A terheletlen tartó reakciói nullák.
metszéspont, amelyre a nyomatéki egyenletet írjuk	főpont	Két ismeretlen hatásvonalának metszéspontja; az ott felírt egyenlet a harmadikat adja.
reakciók rajza a végén	eredményvázlat	Tényleges irány, pozitív nagyság, pontosan három új szám.
$S > 0$ húzott	a rúderőt húzóerőnek feltételezzük	Negatív S: nyomott rúd; kötélnél ez hiba.

A leggyakoribb hibák — és hogyan kerüld el őket

Előjel a nyomatéki egyenletben. Döntsd el az elején, hogy ↶ a pozitív (a tankönyv így írja: $\Mp{A}$ ), és minden tagot ehhez képest írj. A lefelé mutató erő a ponttól jobbra ↷ forgat, tehát negatív.
A megoszló teher eredője rossz helyen. Az eredő az ábra súlypontjában hat: egyenletes tehernél a szakasz felezőpontjában, háromszögnél a nagyobbik intenzitástól a hossz harmadára — nem a tartó közepén.
A ferde görgő reakciója nem függőleges. A gördülési síkra merőleges: a függőlegessel akkora szöget zár be, amekkorát a sík a vízszintessel.
A rúderőt nyomottnak felvenni. Mindig húzottnak vedd fel — így az előjel elárulja a valóságot, és a szilárdságtanban is ez lesz a megállapodás.
Kihagyott ellenőrzés. Az ellenőrző egyenletbe minden tag már ismert: két perc, és kiderül a hiba. Ha nem jön ki, a hiba nagysága gyakran megmondja, melyik tagot rontottad el.

2. rész

Kidolgozott feladatok

Minden feladat a tankönyv receptjét követi: elkülönítés, egyensúlyi kijelentés, egyismeretlenes egyenletek, ellenőrzés, eredményvázlat. Figyeld, hogy a nyomatéki egyenletet mindig a főpontra írjuk.

GYF‑1

Befogott konzol ferde erővel és koncentrált nyomatékkal

⏱ 6 percH03 szintemelő, 3. feladat

Feladat

A bal végén befogott, $3a$ hosszú gerendát az $x = a$ helyen a vízszintessel $\alpha_1$ szöget bezáró, jobbra-lefelé mutató $F_1$ erő, az $x = 2a$ helyen az óramutató járásával megegyező értelmű $M$ koncentrált nyomaték, a szabad végén pedig a függőleges $F_2$ erő terheli. Határozd meg a befogás reakcióit! $a = 2\ \text{m},\ F_1 = 10\ \text{kN},\ \alpha_1 = 60^\circ,\ M = 8\ \text{kNm},\ F_2 = 6\ \text{kN}$ .

A feladatlap rajza. Az M nyíl a rajzon az óramutató járásával egyezően forog, ezért a nyomatéki egyenletben negatív előjellel szerepel.

Megoldás

0 / 7 lépés

Előbb próbáld meg magad! Ha elakadtál, tárd fel a megoldást lépésenként.

Ugyanez filmen – a befogás reakcióra cserélése és a három egyenlet

FilmGYF‑1 · Befogott konzol — elkülönítés, három egyenlet, ellenőrzés7 fejezet · 29 s

A halvány elemek az adott egyenletben nem szerepelnek (a karjuk nulla vagy merőlegesek a vetítés irányára). A lila nyilak a felvett reakciók; a végén Aₓ nyila átfordul a tényleges irányba.

GYF‑2

Konzolos kéttámaszú tartó — nyomatéki egyenlet a csuklóra, aztán a görgőre

⏱ 6 percH03 szintemelő, 4. feladat

Feladat

A $4a$ hosszú gerendát az $x = a$ helyen csukló ( $A$ ), az $x = 3a$ helyen vízszintes síkon gördülő görgő ( $B$ ) támasztja. A bal végén a vízszintessel $\alpha_1$ szöget bezáró, a rajz szerint balra-lefelé mutató $F_1$ erő, a jobb végén a függőleges $F_2$ erő hat. Határozd meg a reakciókat! $a = 1{,}5\ \text{m},\ F_1 = 12\ \text{kN},\ \alpha_1 = 30^\circ,\ F_2 = 8\ \text{kN}$ .

A feladatlap rajza: mindkét vég túlnyúlik a támaszokon (konzolos tartó). Az F₁ nyíl hegye a gerenda bal végén van, az erő balra-lefelé mutat.

Megoldás

0 / 7 lépés

Előbb próbáld meg magad! Ha elakadtál, tárd fel a megoldást lépésenként.

Ugyanez filmen – csukló és görgő, két nyomatéki egyenlet

FilmGYF‑2 · Konzolos kéttámaszú tartó — nyomaték a csuklóra, nyomaték a görgőre7 fejezet · 28 s

A két nyomatéki egyenlet egymástól független: egyik sem használja a másik eredményét. A függőleges vetületi egyenlet érintetlen maradt — ez az ellenőrzés.

GYF‑3

Rúddal és csuklóval megtámasztott gerenda — húzott vagy nyomott a rúd?

⏱ 7 percH03 szintemelő, 5. feladat

Feladat

A $4a$ hosszú vízszintes gerendát a jobb végén csukló ( $B$ ), a közepén ( $C$ , $x = 2a$ ) pedig egy ferde támasztórúd tartja, amelynek másik vége az $A$ talajcsuklóhoz kapcsolódik, a gerenda alatt $a$ -val, a bal vég alatt. A gerenda bal felét ( $0 \le x \le 2a$ ) egyenletesen megoszló $p_1$ teher terheli. Határozd meg a reakciókat és a rúderőt! $a = 1{,}2\ \text{m},\ p_1 = 5\ \text{kN/m}$ .

A feladatlap rajza. A rúd hajlásszöge: tg β = a / 2a = 0,5, azaz β = 26,57°; sin β = 0,4472, cos β = 0,8944.

Megoldás

0 / 7 lépés

Előbb próbáld meg magad! Ha elakadtál, tárd fel a megoldást lépésenként.

Ugyanez filmen – a rúderő húzóként felvéve, majd az előjel dönt

FilmGYF‑3 · Rúddal megtámasztott gerenda — a rúderő húzóként felvéve7 fejezet · 28 s

A rúderőt mindig húzóerőnek vesszük fel; a negatív előjel mondja meg, hogy a rúd valójában nyomott. A végén mindhárom nyíl átfordul a tényleges irányba.

GYF‑4

Tört tengelyű befogott tartó — vízszintes erő és felfelé mutató háromszögteher

⏱ 6 percH04 szintemelő, 2. feladat

Feladat

Az L alakú tartó függőleges szára $a$ , vízszintes szára $2a$ hosszú; a vízszintes szár jobb végén ( $B$ ) befogás. A függőleges szár alsó végén jobbra mutató, vízszintes $F$ erő, a vízszintes szár bal felén ( $0 \le x \le a$ ) lineárisan változó, felfelé mutató teher hat, amely a sarokban nulla, $x = a$ -nál $p$ . Határozd meg a befogás reakcióit! $a = 2\ \text{m},\ F = 5\ \text{kN},\ p = 4\ \text{kN/m}$ .

A feladatlap rajza. A felfelé mutató terhet itt alulról, a tartóra mutató nyilakkal rajzoltuk — az erő iránya ugyanaz. A háromszög eredője a magasabb oldal felé, 2a/3-nál van.

Megoldás

0 / 7 lépés

Előbb próbáld meg magad! Ha elakadtál, tárd fel a megoldást lépésenként.

Ugyanez filmen – háromszögteher eredője, majd a befogás három reakciója

FilmGYF‑4 · Tört tengelyű befogott tartó — eredő, majd három reakció7 fejezet · 28 s

Tört tengelynél a vízszintes erő karja a függőleges távolság, a függőlegesé a vízszintes. A felfelé mutató terhet alulról, a tartóra mutató nyilakkal rajzoltuk — az irány ugyanaz.

GYF‑5

Keret csuklóval és ferde görgővel — a főpont haszna

⏱ 8 percH04 szintemelő, 3. feladat

Feladat

A keret bal oszlopa az $A$ csuklóból indul, $2a$ magas; a gerenda $3a$ hosszú; a jobb oszlop $a$ -val lóg le a gerendáról, alsó végén a $B$ görgő a vízszintessel $\alpha$ szöget bezáró, jobbra emelkedő síkon gördül. A gerendán az $x = a$ helyen az óramutató járásával megegyező értelmű $M$ koncentrált nyomaték hat. Határozd meg a reakciókat! $a = 1{,}5\ \text{m},\ M = 12\ \text{kNm},\ \alpha = 30^\circ$ .

A feladatlap rajza. A görgő reakciója a gördülési síkra merőleges: a függőlegessel α = 30°-ot zár be, balra-felfelé mutat.

Megoldás

0 / 7 lépés

Előbb próbáld meg magad! Ha elakadtál, tárd fel a megoldást lépésenként.

Ugyanez filmen – a hatásvonalak metszéspontjai, a főpontok

FilmGYF‑5 · Keret ferde görgővel — a főpontok haszna7 fejezet · 30 s

A lila vékony vonalak a hatásvonalak; metszéspontjaik a főpontok. Rájuk írva a nyomatéki egyenletet, egyszerre két ismeretlen esik ki, és egyik reakció sem épül a másikra.

GYF‑6

Vízzel terhelt ferde gerenda — a 3. modul és a reakciók együtt

⏱ 8 percH04 szintemelő, 4. feladat

Feladat

A gerenda az $A$ csuklóból a vízszintessel $\alpha$ szöget bezárva emelkedik a $B$ görgőig, amely $2a$ -val van az $A$ fölött, vízszintes síkon gördül. A gerenda bal-fölső oldalán víz áll, a vízszint $a$ -val az $A$ fölött. A víztömeg rajzra merőleges mérete $a/10$ . Határozd meg a reakciókat! $a = 2\ \text{m},\ \alpha = 30^\circ,\ \gamma = 10\ \text{kN/m}^3$ .

A feladatlap rajza. A víz a gerenda bal-fölső oldalán áll, ezért a nyomás a gerendát jobbra-lefelé, a tengelyére merőlegesen nyomja; a vízszintnél nulla, az A-nál a legnagyobb.

Megoldás

0 / 7 lépés

Előbb próbáld meg magad! Ha elakadtál, tárd fel a megoldást lépésenként.

Ugyanez filmen – víznyomásból teher, teherből reakciók

FilmGYF‑6 · Vízzel terhelt ferde gerenda — víznyomásból teher, teherből reakciók7 fejezet · 29 s

A nyomás a gerendára merőleges, ezért az eredő karja a nyomatéki egyenletben a gerenda menti távolság. A vetületi egyenletekhez az eredőt komponensekre bontjuk.

3. rész

Kalkulátorok

Egy általános reakciószámító a házi feladatok ellenőrzéséhez, és az élő kéttámaszú tartó még egyszer — ha a felfedezés közben már számolni is akarsz.

Reakciószámító — kéttámaszú tartó, konzol, csukló + rúd

Válaszd ki a tartótípust, add meg a geometriát és tetszőleges számú terhet (koncentrált erő, egyenletes vagy trapéz alakú megoszló teher, koncentrált nyomaték). A program kiszámolja a három reakciót, és a tankönyvi írásmóddal kiírja az egyismeretlenes egyenleteket meg az ellenőrzést. Alaphelyzetben: $L = 6\ \text{m}$ , $F = 12\ \text{kN}$ lefelé $x = 2\ \text{m}$ -nél — $A_y = 8$ , $B = 4\ \text{kN}$ .

Tartótípus

Geometria

L (m)x_A (m)x_B (m)görgő síkja (°)

Terhek

erőx (m)F (kN)α (°)

Előjelek: α az erő iránya (0° jobbra, −90° lefelé), p pozitív = lefelé, M pozitív = óramutatóval ellentétes. Az erő komponensei: $F_x = F\cos\alpha$ , $F_y = F\sin\alpha$ .

$A_x = 0{,}00\ \text{kN}$

balra mutat

$A_y = 8{,}00\ \text{kN}$

felfelé mutat

$B = 4{,}00\ \text{kN}$

a görgő nyomja a tartót

Egyensúlyi kijelentés és az egyismeretlenes egyenletek

(\underline{F}_{1},\ \underline{A_x},\ \underline{A_y},\ \underline{B}) \ekv \underline{O}

1. Nyomatéki egyenlet a csuklóra → B
$\Mp{A}\ 2{,}00\cdot (-12{,}00) + 6{,}00\cdot B = 0$
$B = \frac{24{,}00}{6{,}00} = 4{,}00\ \text{kN}$
2. Nyomatéki egyenlet a(z) B pontra → A_y
$\Mp{B}\ (-4{,}00)\cdot (-12{,}00) + (-6{,}00)\cdot A_y = 0$
$A_y = \frac{-48{,}00}{-6{,}00} = 8{,}00\ \text{kN}$
3. Vízszintes vetületi egyenlet → A_x (a másik két erő függőleges)
$\Fx\ 0 + A_x = 0$
$A_x = 0{,}00\ \text{kN}$
Ellenőrzés: függőleges vetületi egyenlet
$\Fy\ (-12{,}00) + 8{,}00 + 4{,}00 = 0{,}00\ \checkmark$

A reakciókat a feltételezett irányukkal (A_x jobbra, A_y felfelé, B a görgő síkjára merőlegesen, S húzóerőként, M_A az óramutatóval ellentétesen) vettük fel; negatív eredmény = ellentétes tényleges irány. A rajzon a tényleges irány és a pozitív nagyság szerepel — így néz ki az eredményvázlat.

Élő reakciók kéttámaszú tartón

Ugyanaz a felfedező, mint az elméletben: csúszkákkal állítod a támaszközt, a konzolt, az erőt és a megoszló terhet, a három egyenlet behelyettesítve frissül. Nézd meg, mikor lesz $B$ negatív.

Támaszköz, L6,0 mKonzol jobbra, k0,0 mErő, F12,0 kNHelye, x2,0 mIránya, β-90 °Megoszló, p0,0 kN/mp kezdete, x₁0,0 mp vége, x₂3,0 m

Aₓ

0,00 kN

A_y

8,00 kN

4,00 kN

\Mp{A}\ 2{,}00\cdot(-12{,}00) + 6{,}00\,B = 0\ \Rightarrow\ B = 4{,}00\ \text{kN}

\Mp{B}\ (-4{,}00)\cdot(-12{,}00) - 6{,}00\,A_y = 0\ \Rightarrow\ A_y = 8{,}00\ \text{kN}

\Fx\ A_x + (0{,}00) = 0\ \Rightarrow\ A_x = 0{,}00\ \text{kN}

\Fy\ 8{,}00 + (4{,}00) + (-12{,}00) = 0{,}00\ \checkmark

4. rész

Gyakorlás

Előbb egy játék a szemnek, aztán a fogalmi kvíz, a hibakereső és a számolós generátorok — mindegyik új számokkal minden indításkor.

Előbb játssz – tippeld meg a reakciókat

Játék

Tippeld meg a reakciókat

1 / 5. kör0 pont

Kéttámaszú tartó, egy-két teher. Becsüld meg a támaszerőket, aztán nézd, mit csinál a tartó: ha az összeg rossz, süllyed vagy emelkedik; ha az arány rossz, billen. Az 5. kör haladó: ferde erő és A_x is.

Az ötlet – fogalmi kvíz

KvízÉrted, vagy csak számolod?

Tizenkét kérdés a kényszerekről, az elkülönítésről és az egyenletválasztásról.

Kérdések betöltése…

Hibakereső – találd meg a hibát

HibakeresőA megoszló teher eredője rossz helyen1 / 5

Az alábbi megoldás egy helyen hibás. Kattints arra a lépésre, ahol a hiba van!

Kéttámaszú tartó,

L = 6\ \text{m}

(A csukló balra, B görgő jobbra). A bal oldali 2 m-en

p = 6\ \text{kN/m}

egyenletesen megoszló teher hat. Mekkora

B

Számolós gyakorlás

További feladattípusok

Mikor mehetsz tovább

Akkor vagy kész ezzel a modullal, ha egy kéttámaszú tartó és egy befogott konzol reakcióit segítség nélkül, a recept öt lépésével végig tudod számolni — és ha egy ferde rúddal megtámasztott tartónál meg tudod mondani, melyik pontra írt nyomatéki egyenletből jön ki egyetlen lépésben $A_x$ . A következő modulokban ugyanezek a reakciók lesznek a kiindulópont az igénybevételi ábrákhoz.