7Modul

Rácsos tartók

Csuklókkal összekapcsolt rudak, csak a csomópontokon ható terhek: a rudakban egyetlen erő ébred, a rúderő. Ebben a modulban megtanulod, hogyan gyullad ki csomópontról csomópontra a megoldás, hogyan találod meg ránézésre a vakrudakat, és hogyan vágsz át egyetlen görbe vonallal három rudat, hogy a belsejükbe láss.

Rúd, csomópont, öv, oszlop, rácsrúd
2c = r + k — a számlálás
Csomóponti módszer
Vakrudak három alapesete
Hármas és négyes átmetszés
K-rács, mellékrácsozás, összetett és rúdján terhelt tartó

Elmélet Kidolgozott feladatok Kalkulátorok Gyakorlás

1. rész

Elmélet

A rácsos tartó összetett tartó, de nem kell a rudakat elkülöníteni: minden rúdra csak két erő hat, ezért a rúderő a tengelyében működik. Amit el kell különíteni, azok a csomópontok — rájuk közös metszéspontú erőrendszer hat, csomópontonként két egyenlettel.

7.1 Mi a rácsos tartó?

Rácsos tartónak nevezzük az olyan összetett tartót, amely egymáshoz a végeiken csuklókkal kapcsolódó, általában egyenes tengelyű rudakból áll. Külső támaszai görgők, támasztórudak és csuklók lehetnek — befogás nem. A terhek jellemzően a csomópontokon működő koncentrált erők. Ez a három feltétel biztosítja, hogy a rudak valóban rúdként viselkednek: egy rúdra csak a két végén hat erő, a két erő közös hatásvonalú, és a hatásvonal átmegy a rúd két végén lévő csuklón. A rudakat tehát nem kell elkülöníteni, a csuklókra pedig közös metszéspontú erőrendszerek hatnak.

A valódi szerkezetek csomópontjai gyakran nem csuklósak (hegesztett, csavarozott), a csuklós modell mégis jó közelítést ad, és lényegesen egyszerűsíti a számítást. A rácsos tartót külön tárgyaljuk, mert nagyon gyakori szerkezet, és mert a rúderők számítására speciális eljárások terjedtek el.

1. ábraA tankönyv 6.1. ábrája nyomán: a) statikai váz, b) a csuklók elkülönítése. Minden rúderőt húzottnak veszünk fel, a nyíl a csomópontból a rúd másik vége felé mutat; egy rúd két végén a csomópontokra ható erők egymás ellentettjei.

Jelölés: S₍ᵢ,ⱼ₎ és a vessző nélküli ellentettHincz–Németh 6.1

A csuklókat sorszámozzuk; az $i$ és $j$ ( $i < j$ ) csomópontokat összekötő rúd rúderejének nagysága $S_{i,j}$ — az első index mindig a kisebb sorszámú végpont. Az elkülönítésnél a csomópontokra rajzolt nyilak a rudakról a csomópontokra ható erők irányát mutatják; mindegyiket húzottnak vesszük fel (emlékeztetőül: ezek rúderők). A rúd két végén az erők egymás ellentettjei — ezt a nyilak egyértelműen mutatják, ezért az ellentett erő jelöléséből a megszokott vesszőt is elhagyjuk.

A számlálás: e = 2c, i = r + k

Csomópontonként két független skaláregyenlet írható (közös metszéspontú erők): $e = 2c$ , ahol $c$ a csuklók száma. Az ismeretlenek a rúderők és a külső reakciók: $i = r + k$ , ahol $r$ a rudak száma, $k$ a kényszerek fokszámának összege. Azokon a rácsos tartókon, ahol az egyenletrendszernek bármilyen teher esetén egyértelmű megoldása van — a példáink mind ilyenek —, teljesül a $2c = r + k$ egyenlőség.

A rudak elnevezései és a tartótípusok

2. ábraA tankönyv 6.2. ábrája nyomán: övrudak (felső és alsó öv), rácsrudak, oszlopok és összekötő rudak. A csomópontokba a csuklókat általában nem rajzoljuk be, de a számítást a csuklók figyelembevételével végezzük.

öv

Övrudak

A rácsozaton keresztül húzott függőleges vonal által elmetszett legalsó és legfelső rudak; együtt az alsó és a felső öv. Ha mind párhuzamosak: párhuzamos övű tartó.

rács

Rácsrudak

Az alsó és a felső öv közötti ferde rudak.

oszlop

Oszlop

Függőleges rúd, amelynek végeihez rácsrúd is csatlakozik.

összekötő

Összekötő rúd

Függőleges rúd, amelynek egyik végéhez csak két, egy egyenesbe eső övrúd kapcsolódik — terheletlen csomópontnál ez vakrúd lesz.

a) Warren (szimmetrikus rácsozás)

d) Pratt (oszlopos rácsozás)

f) K-rácsozás

e) oszlopos, íves felső övvel (trapéz)

g) mellékrácsozású (nyeregtető)

h) X-rácsozás — nem határozott!

3. ábraRácsos tartó típusok a tankönyv 6.3. ábrája nyomán: Warren (szimmetrikus), Pratt (oszlopos), K-rácsozás, íves felső öv, mellékrácsozás — és az X-rácsozás, amelynek rúderői az egyensúlyi egyenletekből nem határozhatók meg egyértelműen.

Az X-rácsozású tartók kivételek: mezőnként eggyel több rúd van, mint amennyit az egyenletek megengednek ( $r + k > 2c$ ), ezért az egyensúly ugyan létezik, de az egyik rúderő csak a többi paramétereként fejezhető ki. Ezen az sem változtat, ha az X közepén csomópont van: két új egyenlet, de két új ismeretlen is. A többi típusra viszont igaz, hogy háromszögekből felépíthető: egy három rúdból és három csuklóból álló háromszöghöz egy új csuklót két új rúddal kapcsolunk, és ezt ismételjük — az így kapott síkidomot egy csuklóval és egy görgővel támasztjuk meg, mintha egyetlen merev test lenne.

A számítást általában a reakciók meghatározásával kezdjük, a rácsozatot egyetlen merev testnek tekintve. A csuklók teljes elkülönítését nem végezzük el, csak a módszerek használatához szükséges részeket rajzoljuk fel. A kiszámított rúderőket eredményvázlat helyett rúderőtáblázatban adjuk meg: első oszlop a rúd jele, második a húzott, harmadik a nyomott rudakban működő erő nagysága — mert a húzott és a nyomott rudak tönkremenetele és méretezése eltér.

Próbáld ki – erőáramlás: told a terhet, nézd a rudakat

S értékek

húzott (9) nyomott (13) vakrúd (3)

a teher helye x4,0 m

a teher azövön

F10 kNa teher iránya (90° = függőleges)90 °mezők száma n6magasság h1,5 m

A teher pontosan csomópontra esik.

reakciók: A = (0,00; 6,67), B = 3,33 kN

legnagyobb rúderők: S2,3 = -17,78S10,11 = 17,78S3,4 = -13,33kN

Nézd meg: az övek a nyomatéki ábrát követik (a felső öv nyomott, az alsó húzott, a legnagyobb a teher alatt), a rácsrudak a nyíróerőt (a tehertől távolodva az irányuk váltakozik, a tehernél előjelet váltanak). A teher fölötti oszlop mindig „dolgozik”, a többi vakrúd is lehet.

7.2 Csomóponti módszer

A csomóponti módszernél egy elkülönített csomópont egyensúlyi egyenleteiből határozzuk meg a rá ható, még ismeretlen rúderőket. Kétféle csomópontnál hatékony:

≤ 2 ismeretlen

Két egyenlet, két rúderő

Ha a csomópontra (a számítás adott fázisában) legfeljebb két ismeretlen rúderő hat, azokat két egyensúlyi (vetületi vagy nyomatéki) egyenletből meg lehet határozni.

3 ismeretlen, 2 közös hatásvonalú

A harmadik külön kijön

Ha három ismeretlen közül kettő közös hatásvonalú, a harmadikat a közös hatásvonalra merőleges vetületi egyenletből ki lehet számolni.

Végig kell menni az összes csomóponton, és megnézni, hol lehet új rúderőt számolni. Egy rúderőt az egyik csomópontban kiszámolva ugyanaz a rúderő a rúd másik végén már ismert erő — így „gyullad ki” a megoldás csomópontról csomópontra. A tankönyv 6.4. ábrájának tartóján a reakciók után: az 1. csomópontból $S_{1{,}2}, S_{1{,}3}$ ; a 2.-ból $S_{2{,}3}, S_{2{,}4}$ ; a 3.-ból $S_{3{,}4}, S_{3{,}5}$ ; a 4.-ből $S_{4{,}5}, S_{4{,}6}$ ; az 5.-ből $S_{5{,}6}, S_{5{,}7}$ ; a 6. egyik egyenletéből $S_{6{,}7}$ . A 6. másik egyenletét és a 7. csomópontot nem használtuk: a teljes szerkezet egyensúlyához már felhasználtunk három egyenletet — ezek ellenőrzésre valók.

Egyismeretlenes egyenletek a csomópontban is

A sorrend nem kötött: $S_{5{,}7}$ -et és $S_{6{,}7}$ -et könnyebb a 7. csomópontból számolni, és így a kerekítési hibák sem görögnek végig a szerkezeten.
Kerüld a kétismeretlenes egyenletet: a vetületi egyenletet a kihagyni szándékozott rúdra merőlegesen írd fel, így csak a számítani kívánt rúderő vetülete szerepel benne.
Ha az első rúderő ismeretében a másodikhoz egy kényelmes (vízszintes vagy függőleges) vetületi egyenletet írsz, az előbb kiszámolt rúderő vetületét se hagyd ki.

Egy csomópont két egyenlete (S mindig húzott, a csomópontból a rúd másik vége felé)

\Fx \sum S_{i}\,e_{x,i} + F_x + R_x = 0,\qquad \Fy \sum S_{i}\,e_{y,i} + F_y + R_y = 0

\text{ismert rúderő: } S\,(e_x, e_y)\ \text{a saját előjelével; a merőleges vetület: } \textstyle\sum F_{it} = 0,\ t \perp \text{a kihagyott rúd}

Próbáld ki – csomóponti hullám: a csomópontok egymás után kigyulladnak

sorrend:

0 / 6 csomópont · 0 / 11 rúderő ismert

húzott nyomott vakrúd még ismeretlen· a vonalvastagság ∝ |S|

0. lépés — reakciók az egész szerkezetből

A rácsozat egyetlen merev test: a támaszok reakcióit a 5. modul receptjével számoljuk, csak azután kezdünk a csomópontokba. Nyomd meg az indítást — a reakciók megjelennek, és az első csomópont „kigyullad”.

\Mp{A} - 6\cdot 8{,}66 + 9\,B = 0 \;\Rightarrow\; B = 5{,}774\ \text{kN}

\Fx A_x + 5 = 0 \;\Rightarrow\; A_x = -5\ \text{kN}

\Fy A_y - 8{,}66 + 5{,}774 = 0 \;\Rightarrow\; A_y = 2{,}887\ \text{kN}

\Mp{B} + 3\cdot 8{,}66 - 9\cdot 2{,}887 = 0 \approx 0\ \checkmark

7.3 Vakrudak

Azokat a rudakat, amelyekben az adott teherből nem keletkezik erő, vakrudaknak nevezzük. Az, hogy egy rúd vakrúd-e, mindig az adott terheléstől függ: más teher esetén változhat a rúderő, ezért ezeket a rudakat sem hagyjuk ki a szerkezetből. A vakrudat a rúd tengelyére rajzolt kis körrel jelöljük. Három speciális esetben a vakrudak könnyen felismerhetők — mindegyik a csomóponti módszeren alapul.

4. ábraA vakrudak alapesetei a tankönyv 6.5. ábrája nyomán, a zérus rúderőt adó vetületi egyenlet t irányával: a) terheletlen csomópont két rúddal, b) terheletlen csomópont két párhuzamos rúddal, c) rúddal párhuzamosan terhelt csomópont két rúddal.

a eset

Terheletlen, két rúd

Ha egy terheletlen csomóponthoz csak két rúd csatlakozik, és nem esnek egy egyenesbe, mindkettő vakrúd — a rudak tengelyére merőleges vetületi egyenletekből közvetlenül adódik.

b eset

Terheletlen, három rúd, kettő egy egyenesben

Az egyenesre merőleges vetületi egyenletből következik, hogy a harmadik rúd vakrúd. (A két egy egyenesbe eső rúd ereje egyenlő.)

c eset

Két rúd, a teher az egyik egyenesében

Ha a csomópontra ható teher (vagy ismert irányú reakció) hatásvonala egybeesik az egyik rúddal, a közös hatásvonalra merőleges vetületből a másik rúd vakrúd.

A vakrudak továbbterjednekHincz–Németh 6.2.2

Amikor találtunk egy vakrudat, a rúd másik végén lévő csomópontot (ismét) meg kell vizsgálni, nem alakult-e ki ott is valamelyik alapeset. A gyakorlatban: végigmegyünk az összes csomóponton, és ha találtunk valahol vakrudat, akkor ismét végigmegyünk, az addig talált vakrudakat figyelembe véve.

Ami nem vakrúd-szabály

Terhelt csomópont, két egy egyenesbe eső övrúd és egy oszlop, a teher az oszlop egyenesében: az oszlop nem vakrúd, hanem $S = -F$ (a merőleges vetületből).
Csuklós támasz csomópontja: a reakció iránya ismeretlen — ott csak a reakciók kiszámítása után lehet vakrudat felismerni.
Szimmetria vagy a teljes számítás is adhat zérus rúderőt, amit a három alapeset nem mutat meg.

7.4 Átmetszéses módszerek — hármas átmetszés

Az összetett tartóknál láttuk: ha egy tartó egyensúlyban van, akkor minden darabja és azok csoportja is egyensúlyban van. A hármas átmetszés lényege, hogy képzeletben úgy vágjuk át (távolítjuk el) a rácsos tartó három rúdját, hogy a szerkezet két részre essen szét, és az átvágott rudakban működő erőket a két tartórész megfelelő csomópontjaira működtetjük — mindkét rész továbbra is egyensúlyban marad. Az egyik részre felírt egyensúlyi kijelentésből három független egyenlet, amiből a három ismeretlen rúderő meghatározható (ha a részre ható reakciókat már ismerjük). Nem kell végigmenni az odavezető csomópontokon, és a csomópontonkénti számítás hibája sem görög tovább.

5. ábraHármas átmetszés a tankönyv 6.6. ábrája nyomán: a) a tartó és az átmetszett rudak (a görbe vonalat azért rajzoljuk, hogy ne keverjük össze a tartó egyenes vonalaival), b) a bal, c) a jobb oldali részre ható erők.

A bal vagy a jobb rész egyensúlyát is vizsgálhatjuk — célszerű azt az oldalt választani, amelyikre kevesebb külső erő hat. A három rúddal „megtámasztott” merev test rúderőinek számításakor mindig olyan egyenletet keresünk, ahol csak egy ismeretlen szerepel: ez ugyanaz a feladat, mint a három rúddal megtámasztott egyszerű tartó reakciószámítása (5. modul, 4.8. ábra). Minden rúderőhöz a másik kettő hatásvonalának metszéspontja — a főpont — a nyomatéki pont; ha a másik kettő párhuzamos (párhuzamos övek), a rájuk merőleges vetületi egyenlet marad.

Párhuzamos övű tartó egy mezőjén át (h a tartó magassága, α a rácsrúd hajlása)

\Mp{\text{alsó cs.}} \ldots + h\,S_{\text{felső öv}} = 0,\qquad \Mp{\text{felső cs.}} \ldots - h\,S_{\text{alsó öv}} = 0,\qquad \Fy \ldots \pm \sin\alpha\,S_{\text{rács}} = 0

\text{az övek a nyomatéki ábrát, a rácsrudak a nyíróerőt követik}

Próbáld ki – húzz egy átmetsző vonalat a tartón

vizsgált rész:

?Húzz egy vonalat a tartón

Nyomd le a mutatót (vagy az ujjad) a tartó egyik oldalán, és húzd át a rudakon. A tankönyv görbe vonallal rajzolja, hogy ne keveredjen a rudakkal — itt egyenes is jó.

Tipp: a vágás akkor jó, ha a tartó két részre esik szét, és legfeljebb három rudat vág. Próbáld ki az oszlopot is átvágni (négy rúd) — és nézd meg, mikor marad számolható.

7.5 Négyes átmetszés — K-rácsozás és mellékrácsozás

A K-rácsozású tartónál nem tudjuk három rúd átvágásával elérni, hogy a tartó két részre essen. Ilyenkor négyes átmetszést használunk. A ferde (B) átmetszés az oszlopon át vezet: négy erő szerepel, de a két oszlopfél erejének közös hatásvonala miatt a hatásvonaluknak az övek hatásvonalával vett metszéspontjaira — az oszlop alsó és felső végpontjára — írt nyomatéki egyenletekből az övrudak ereje egyismeretlenes egyenletből számolható. A két függőleges erőnek csak az eredőjét tudjuk számolni. Ugyanezt a függőleges erőt kapjuk az egyenes (C) átmetszésben a két ferde rácsrúd erejének eredőjeként — ezt viszont a két adott irányú komponensre már egyértelműen fel lehet bontani. A ferde rácsrudak ismeretében az öveken lévő csomópontok függőleges vetületi egyenletéből a függőleges rudak (oszlopfelek) ereje is kijön.

6. ábraNégyes átmetszés a tankönyv 6.7. ábrája nyomán: a) K-rácsozású tartó a B (ferde) és a C (egyenes) átmetszéssel, b) a ferde átmetszéssel felszabadított rész (két överő + két közös hatásvonalú oszloperő), c) az egyenes átmetszés (két ismert öv + a K két szára).

Mellékrácsozású tartónál (6.3.g ábra) a módszereket kombináljuk. A mellékrácsozás rúdjait csomóponti módszerrel tudjuk kiszámolni: a függőleges rudakat az alsó csomópontjuk alapján egy függőleges (a vízszintes övre merőleges) vetületi egyenletből, majd ezeket is felhasználva a ferde rudakat a felső csomópontjuk alapján egy ferde (a fő rácsrúdra merőleges) vetületi egyenletből. Alternatíva: először egy hármas átmetszésből a felső övrúd ereje, majd az azt tartalmazó négyes átmetszésből a maradék három rúderő.

Játék a végén

A vakrudak felismerését a Gyakorlás részben a vakrúd-vadász játékkal edzheted: öt véletlen tartó, időre, kattintással.

7.6 Külsőleg összetett rácsos tartók

A rácsozat háromszögekből való felépítésével nem csak egyetlen merev testnek megfelelő tartó építhető, hanem összetett tartó is. Ilyenkor a merev testeknek tekintett rácsozatokból álló összetett tartó külső és belső reakcióinak meghatározása után (6. modul) a rúderők már az eddig megismert módszerekkel számolhatók. A 6.9.a ábrán a bal oldali tíz háromszöget egy csukló és egy görgő tartja, ehhez kapcsolódik egy csuklóval a jobb oldali hat háromszögből álló befüggesztett rész, amelyet egy külső görgő is támaszt: Gerber-rendszerű rácsos tartó. A 6.9.b ábrán a két rácsozat egy-egy csuklóval kapcsolódik egymáshoz és a földhöz: a reakciókat a háromcsuklós tartó számításából kapjuk. A rácsos tartók alatt felrajzolt trapézok merev testeknek tekintendők.

7. ábraKülsőleg összetett rácsos tartók a tankönyv 6.9. ábrája nyomán: a) Gerber-rendszerű, b) háromcsuklós rendszerű rácsos tartó — alattuk a merev testekből álló összetett tartó, amelyen a reakciók számíthatók.

7.7 Rúdján terhelt rácsos tartó

Az eddigi módszerek arra a feltételezésre épültek, hogy a rácsos tartóra csak a csomópontokban hatnak erők. A rúdján is terhelt rácsos tartónál is használhatók ezek a lépések — néhány előkészítő művelet után. Az egyik lehetőség: a külső reakciók ismeretében a többi rúderőt a tanult módszerekkel meghatározzuk, majd a terhelt rúd két végén a csuklókat egyensúlyozó erőket a csuklók egyensúlyából számítjuk; a terhelt rúdra ezek ellentettjei hatnak, és a rúd egyensúlyát ellenőrizhetjük.

A másik lehetőség szerint a terhelt $j\text{–}k$ rudat a szomszédos csuklókkal együtt kiemeljük a szerkezetből, és a rúdvégi csuklókban belső erőket veszünk fel: az egyik komponens legyen párhuzamos a rúddal ( $S^S$ ), a másik merőleges rá ( $S^m$ ). A $j$ , illetve $k$ végpontokra írt nyomatéki egyenletekben rendre csak az $S^m_k$ , illetve $S^m_j$ merőleges erő szerepel — egyismeretlenes egyenletek. A rúd tengelyével párhuzamos vetületből:

A tankönyv (6.1) egyenlete

\textstyle\sum F_i\!\nearrow:\ -S^S_j + F^S + S^S_k = 0 \;\Rightarrow\; S^S_k = S^S_j - F^S

F^S \text{ a teher rúdirányú vetülete}

8. ábraTerhelt rácsrúd a tankönyv 6.10. ábrája nyomán: a) a terhelt rúd a csomóponti rúderőkkel, b) a rúd és a rúdvégi csuklók elkülönítése, c) a terhelt rúd helyettesítése: a rúdvégi erők ellentettjei csomóponti terhekként.

A rúdvégi reakciók ellentettjei közvetlen csomóponti terhekként ugyanakkora erőket adnak a csomópontokra, mint az eredeti teher: ez az erőrendszer és a most már terheletlen $j\text{–}k$ rúd helyettesíti a terhelt rudat. A további számítás egy szokásos rácsos tartón folyik — kivéve a $j\text{–}k$ rudat, amelyben nem csak rúderő keletkezik: ezt a 9. modul (igénybevételi ábrák, tankönyv 8.1) tárgyalja.

Itt és a gyakorlaton	A tankönyvben	Megjegyzés
rúderő, S	$S_{i,j}$ , húzottnak felvéve	A kisebb sorszám elöl; negatív = nyomott.
vakrúd	vakrúd (zérus rúderő az adott teherből)	Kis kör a rúd tengelyén; a szerkezetben marad.
Ritter-féle metszés	hármas átmetszés	Három rúd, két rész, három egyenlet; K-rácsnál négyes átmetszés.
nyomatéki pont	főpont	A másik két átvágott rúd hatásvonalának metszéspontja.
eredményvázlat	rúderőtáblázat	rúd \| húzott [kN] \| nyomott [kN].
Warren / Pratt	szimmetrikus / oszlopos rácsozás	6.3. ábra; K-rácsozás, mellékrácsozás, X-rácsozás.
diagonális	rácsrúd	A ferde rudak; a függőleges: oszlop vagy összekötő rúd.

A leggyakoribb hibák — és hogyan kerüld el őket

Nyomottnak felvett rúderő. Mindig húzott; a következő csomópontban a saját előjelével írd be, a rúd másik vége felé mutató egységvektorral.
Kihagyott vetület. A második (kényelmes) egyenletbe az imént kiszámolt rúderő vetülete is kell.
Rossz főpont. A főpont a két kizárandó rúd metszéspontja; ha a keresett rúd átmegy rajta, más rúderőt kapsz.
Négy rúd átvágva. Három egyenlet — csak K-rácsnál (közös hatásvonalú oszlopfelek) van megoldás, és akkor is csak az övekre.
Vakrúd-szabály terhelt csomóponton. Az a és b eset terheletlen csomópontra vonatkozik; csuklós támasznál előbb a reakció.

2. rész

Kidolgozott feladatok

A tankönyv példái, a H07 és H08 feladatsor és a vizsgaminta számokkal: reakciók → vakrudak → csomóponti módszer → átmetszés → rúderőtáblázat. Minden számot két független megoldó ellenőrzött.

GYF‑1

Csomóponti módszer végig — Warren-tartó ferde erővel

⏱ 12 percTankönyv 6.1. és 6.4. ábra

Feladat

A tankönyv 6.1. ábrájának rácsos tartója: az alsó öv csomópontjai $1, 3, 5, 7$ ( $x = 0;\ 3;\ 6;\ 9\ \text{m}$ ), a felső öv csomópontjai $2, 4, 6$ ( $x = 1{,}5;\ 4{,}5;\ 7{,}5\ \text{m}$ , $h = 2\ \text{m}$ ). Az 1. csomópont csukló ( $A$ ), a 7. görgő ( $B$ ). Az 5. csomópontot a vízszintessel $60^\circ$ -ot bezáró, jobbra-lefelé mutató $F = 10\ \text{kN}$ erő terheli. Határozd meg az összes rúderőt a csomóponti módszerrel!

A statikai váz. Minden rácsrúd 1,5 m vízszintes és 2 m függőleges vetületű, hossza 2,5 m: cos = 0,6, sin = 0,8.

Megoldás

0 / 6 lépés

Előbb próbáld meg magad! Ha elakadtál, tárd fel a megoldást lépésenként.

Ugyanez filmen – a csomópontok egymás után kigyulladnak

FilmGYF‑1 · Csomóponti módszer — a hullám az 1. csomóponttól a 7-esig9 fejezet · 35 s

A szaggatott rudak ereje még ismeretlen; a narancs gyűrű a soron következő csomópont, a zöld pötty a már feldolgozott. Piros = húzott, kék = nyomott, a vonalvastagság ∝ |S|.

GYF‑2

Hármas átmetszés — három rúderő három egyismeretlenes egyenletből

⏱ 6 percTankönyv 6.6. ábra

Feladat

Párhuzamos övű rácsos tartó, négy $a = 2\ \text{m}$ széles mezővel, $b = 1{,}5\ \text{m}$ magas. Felső csomópontok $1\ldots 5$ , alsók $6\ldots 10$ ; a 6. csukló ( $A$ ), a 10. görgő ( $B$ ). A 4. csomóponton $F = 12\ \text{kN}$ függőleges erő hat. Határozd meg a $S_{2{,}3}, S_{2{,}8}, S_{7{,}8}$ rúderőket hármas átmetszéssel!

A tankönyv 6.6.a ábrája számokkal: a görbe vonal a kiemelt három rudat vágja át. A rácsrudak 2 m vízszintes, 1,5 m függőleges vetületűek (hossz 2,5 m): cos = 0,8, sin = 0,6.

Megoldás

0 / 6 lépés

Előbb próbáld meg magad! Ha elakadtál, tárd fel a megoldást lépésenként.

Ugyanez filmen – a vágás, a főpontok és a három egyenlet

FilmGYF‑2 · Hármas átmetszés — vágás, elkülönítés, három főpont9 fejezet · 33 s

A kék nyilak az átvágott rudak húzottnak felvett erői; a nyomatéki pontok (főpontok) lüktetnek. A végén a teljes megoldás színezése látszik.

GYF‑3

H07 — minden rúderő: vakrudak, csomóponti módszer és két hármas átmetszés

⏱ 15 percH07 szintemelő (magyar/angol)

Feladat

Párhuzamos övű rácsos tartó négy $a = 2\ \text{m}$ széles mezővel, $b = 1{,}5\ \text{m}$ magassággal; a 6. csomópont csukló ( $A$ ), a 10. görgő ( $B$ ). Terhek: $F_1 = 10\ \text{kN}$ a 3., $F_2 = 6\ \text{kN}$ a 4. csomóponton, függőlegesen lefelé. Határozd meg a rúderőket! Alkalmazd a csomóponti módszert és a hármas átmetszés módszerét is legalább kétszer! (Determine the forces in the members of the truss. Apply the method of sections and the method of joints as well!)

A feladatlap rajza számokkal. A rácsrudak a középső alsó csomópont (8) felé lejtenek; hosszuk 2,5 m, cos = 0,8, sin = 0,6.

Megoldás

0 / 6 lépés

Előbb próbáld meg magad! Ha elakadtál, tárd fel a megoldást lépésenként.

GYF‑4

K-rácsozás — reakciók, vakrudak indoklással, rúderők csomópontból és négyes átmetszéssel

⏱ 15 percH08 szintemelő, 1. feladat

Feladat

A tartó négy $b = 2\ \text{m}$ széles mezőből áll, magassága $2a = 3\ \text{m}$ ; a 11–14. csomópontok az oszlopok felezőpontjában vannak. A 6. csomópont csukló ( $A$ ), a 10. görgő ( $B$ ). $F_1 = F_2 = 10\ \text{kN}$ a 3. és 4. csomóponton. Határozd meg a reakciókat, add meg a vakrudakat indoklással, és számítsd ki rúderőtáblázatban az $S_{2{,}3}, S_{2{,}11}, S_{2{,}12}, S_{3{,}12}, S_{7{,}8}, S_{7{,}11}, S_{7{,}12}, S_{8{,}12}$ rúderőket!

A feladatlap rajza számokkal: a szélső mezőkben K-rácsozás (a 11. és 14. csomópontból induló szárakkal), középen a 12–3–13–8 rombusz és a 3–8 oszlop. A ferde rudak 2 m × 1,5 m vetületűek: cos = 0,8, sin = 0,6.

Megoldás

0 / 7 lépés

Előbb próbáld meg magad! Ha elakadtál, tárd fel a megoldást lépésenként.

Ugyanez filmen – vakrudak, aztán csomópontról csomópontra

FilmGYF‑4 · K-rácsozás — vakrudak, csomóponti hullám, négyes átmetszés13 fejezet · 44 s

Szürke rúd = vakrúd (kis kör a közepén). A K szárai ellentett előjelűek; a rombusz két rúdja is. A sárga kiemelés a négyes átmetszés négy rúdja.

GYF‑5

Külsőleg összetett rácsos tartó — háromcsuklós rendszer ferde felső övvel

⏱ 15 percH08 szintemelő, 2. feladat

Feladat

A tartó öt $b = 2\ \text{m}$ széles mezőből áll; a felső öv egyenes, a bal végén $a = 2\ \text{m}$ , a jobb végén $a + b = 4\ \text{m}$ magasan. A bal (2.) és a jobb (12.) alsó csomópont is csukló ( $A$ , $B$ ). Terhek: $F_1 = 12\ \text{kN}$ a 3., $F_2 = 8\ \text{kN}$ a 9. csomóponton. Határozd meg a külső reakciók komponenseit, és rúderőtáblázatban a jelölt (1–7) csomópontok közötti rudak erejét!

A feladatlap rajza számokkal. A felső csomópontok magassága: 2; 2,4; 2,8; 3,2; 3,6; 4 m. A 6–8 alsó övrúd hiányzik: a két háromszög-csoport csak a 7. csomópontban kapcsolódik → háromcsuklós rendszer.

Megoldás

0 / 6 lépés

Előbb próbáld meg magad! Ha elakadtál, tárd fel a megoldást lépésenként.

GYF‑6

Vizsga-típus: ferde felső öv, három rúd átmetszéssel — a főpont a tartón kívül

⏱ 8 percVizsgaminta, 3. feladat

Feladat

Rácsos tartó négy $5\ \text{m}$ széles mezővel; az alsó öv vízszintes (6–10, a 6. csukló, a 10. görgő), a felső öv (1–5) egyenes, bal végén 5 m, jobb végén 9 m magasan. A rácsrudak az 1–7, 2–8, 3–9, 4–10 csomópontokat kötik össze. A 3. csomóponton $8\ \text{kN}$ függőleges erő hat. Határozd meg az átmetszésben szereplő $2\text{–}3,\ 2\text{–}8,\ 7\text{–}8$ rudakban működő erőket! (A rúderők helyes előjellel érnek pontot.)

A vizsgaminta rajza. A felső öv meredeksége 4/20 = 0,2; a 2. csomópont (5; 6), a 3. (10; 7) m.

Megoldás

0 / 5 lépés

Előbb próbáld meg magad! Ha elakadtál, tárd fel a megoldást lépésenként.

GYF‑7

Rúdján terhelt rácsos tartó — helyettesítés csomóponti terhekkel

⏱ 7 percTankönyv 6.5 (6.10. ábra)

Feladat

A GYF‑1 tartóját (Warren, $a = 1{,}5$ , $h = 2\ \text{m}$ ) most nem csomóponton, hanem a $3\text{–}5$ alsó övrúd közepén terheli a $P = 8\ \text{kN}$ függőleges erő. Határozd meg a rúderőket, és mondd meg, mi ébred a 3–5 rúdban a rúderőn kívül!

A teher a 3–5 rúd felezőpontjában hat — ez a rúd nem viselkedik tiszta rúdként: hajlítás is ébred benne.

Megoldás

0 / 3 lépés

Előbb próbáld meg magad! Ha elakadtál, tárd fel a megoldást lépésenként.

3. rész

Kalkulátor

Paraméteres rácsos tartó — hét tartótípus, mezőszám, méretek, legfeljebb három csomóponti teher. A program kiírja a reakciók levezetését, a vakrudakat indoklással, a csomóponti módszer lépéseit, a rúderőtáblázatot és egy választott rúdra az átmetszés egyenleteit főpontokkal.

Rácsos tartó megoldó — csomóponti módszer és átmetszés levezetéssel

Alaphelyzetben a H07 tartója ( $a = 2\ \text{m}$ , $h = 1{,}5\ \text{m}$ , $F_1 = 10$ , $F_2 = 6\ \text{kN}$ ): $A_y = 6{,}5$ , $B = 9{,}5\ \text{kN}$ . Kattints egy rúdra, hogy arra kapd az átmetszést; K-rácsnál pipáld be az ismert öveket a négyes átmetszés második lépéséhez.

tartótípusmezők száma n4

mezőszélesség a2,0 mmagasság h1,5 m

csomóponti terhek (F nagyság, irány: −90° = lefelé, 0° = jobbra)

F₁:kN,°

F₂:kN,°

Kattints egy rúdra: az átmetszés fülön arra a rúdra kapsz levezetést. A rudak mellett a rúderő (kN), rose = húzott, sky = nyomott, szürke = vakrúd.

A rácsozat mint merev test

(\underline{F}_{1}, \underline{F}_{2}, \underline{A}, \underline{B}) \ekv \underline{O}

A csuklón átmegy A_x és A_y hatásvonala, egyedül a görgő B reakciója marad (karja 8 m).

\Mp{A} - 4\cdot 10 - 6\cdot 6 + 8\,B = 0 \;\Rightarrow\; B = 9{,}5\ \text{kN}

\Fx A_x = 0 \;\Rightarrow\; A_x = 0\ \text{kN}

\Fy A_y - 16 + 9{,}5 = 0 \;\Rightarrow\; A_y = 6{,}5\ \text{kN}

\Mp{B} + 4\cdot 10 + 2\cdot 6 - 8\cdot 6{,}5 = 0 \approx 0\ \checkmark

Vakrudak ránézésre: S6,7, S9,10

6. csomópont: két rúd, és a csomópont A reakciója a(z) 1,6 rúd egyenesébe esik → a rá merőleges vetületi egyenletből a(z) 6,7 rúd vakrúd (c eset).
10. csomópont: két rúd, és a csomópont B reakciója a(z) 5,10 rúd egyenesébe esik → a rá merőleges vetületi egyenletből a(z) 9,10 rúd vakrúd (c eset).

Rúderőtáblázat

rúd	húzott [kN]	nyomott [kN]
S1,2		8,67
S6,7		0 (vakrúd)
S2,3		17,33
S7,8	8,67
S3,4		17,33
S8,9	12,67
S4,5		12,67
S9,10		0 (vakrúd)
S1,6		6,50
S2,7		6,50
S3,8		10,00
S4,9		9,50
S5,10		9,50
S1,7	10,83
S2,8	10,83
S4,8	5,83
S5,9	15,83

Erőáramlás még egyszer

Vándorló teher, tartótípus-váltás, magasság: a rúderők élőben. Figyeld, hogyan nő a rácsrudak ereje a támaszok felé, és hol váltanak előjelet.

S értékek

húzott (9) nyomott (13) vakrúd (3)

a teher helye x4,0 m

a teher azövön

F10 kNa teher iránya (90° = függőleges)90 °mezők száma n6magasság h1,5 m

A teher pontosan csomópontra esik.

reakciók: A = (0,00; 6,67), B = 3,33 kN

legnagyobb rúderők: S2,3 = -17,78S10,11 = 17,78S3,4 = -13,33kN

4. rész

Gyakorlás

Előbb a játék, aztán a fogalmi kvíz, a hibakereső és a számolós generátorok — mindegyik új tartóval és új számokkal minden indításkor.

Előbb játssz – vakrúd-vadász

Játék

Vakrúd-vadász

1 / 5. kör0 pont

Öt véletlen rácsos tartó. Találd meg időre az összes vakrudat: kattints rájuk, majd ellenőrizz. A téves kattintás pontot von le, a kimaradt vakrúd nem ad pontot.

hátralévő idő: 30 s

kijelölt rudak: 0

rúd, csomópont

Az ötlet – fogalmi kvíz

KvízÉrted, vagy csak számolod?

Tizenöt kérdés a rácsos tartó feltételeiről, a csomóponti módszerről, a vakrudakról és az átmetszésekről.

Kérdések betöltése…

Hibakereső – találd meg a hibát

HibakeresőA rúderőt nyomottnak vették fel1 / 6

Az alábbi megoldás egy helyen hibás. Kattints arra a lépésre, ahol a hiba van!

Csomóponti módszer az 1. csomóponton (csukló,

A_y = 6

kN felfelé): a 3–4–5-ös rácsrúd (irány 0,6; 0,8 a 2. csomópont felé) és a vízszintes övrúd. Mekkora

S_{1{,}2}

Számolós gyakorlás

További feladattípusok

Mikor mehetsz tovább

Akkor vagy kész ezzel a modullal, ha egy párhuzamos övű tartón segítség nélkül végig tudsz menni a csomópontokon (a helyes előjelekkel), egy tetszőleges rúdhoz meg tudod rajzolni a hármas átmetszést és meg tudod nevezni a főpontját, és a vakrudakat ránézésre bekarikázod. A következő modul (statikai határozottság) pontosan azt vizsgálja, amit itt a $2c = r + k$ számlálással csak megelőlegeztünk: mikor elég, mikor kevés és mikor sok a rúd és a támasz — és mi történik, ha a számlálás jó, de az elrendezés rossz.