2Modul

Nyomaték, eredő, redukálás

Az erő nemcsak tolni akarja a testet, hanem forgatni is. Ebben a modulban megtanulod, hogyan mérjük ezt a forgatóhatást, és hogyan lehet egy egész erőrendszert egyetlen erővel vagy egyetlen nyomatékkal helyettesíteni.

Forgatónyomaték és az erő karja
Erőpár, nyomaték erőpárrá alakítása
Redukálás, dinámrendszer
Az eredő három esete
Nyomaték tengelyre
Térben négy eset: erőcsavar

Elmélet Kidolgozott feladatok Kalkulátorok Gyakorlás

1. rész

Elmélet

Az előző modulban az erők összeadása volt a téma. Most jön az, ami ezt statikává teszi: az, hogy az erőnek helye is van, és ez a hely számít.

2.1 A forgatónyomaték

Két azonos nagyságú és irányú erő egészen mást csinál attól függően, hogy hol támad. Egy ajtót a kilincsnél könnyű kinyitni, a zsanérnál lehetetlen — pedig az erő ugyanaz. Amit itt érzünk, az a forgatónyomaték: az erő forgatóhatása egy adott pontra.

Síkban a nyomaték előjeles skalár. Nagysága az erő nagyságának és az erőkarnak a szorzata, ahol az erőkar a pont merőleges távolsága az erő hatásvonalától. Előjele a forgásirányból adódik: megállapodás szerint az óramutató járásával ellentétes forgatás a pozitív.

Nyomaték egy pontra, síkban (tankönyv 3.43)

M^{(O)} = \pm F\,k

A tankönyvben ígyHincz–Németh 3.3.2

A könyv a pontot alsó indexbe írja: $\underline{M}_P = \underline{r}\times\underline{F}$ , síkban $M_P = \pm|\underline{F}|\,k$ . Itt a gyakorlat jelölését használjuk, a pont felső indexben: $M^{(O)}$ — ugyanazt jelenti. Az erő karja mindkét helyen $k$ , a hatásvonal és a pont távolsága. A vektoriális szorzatból a nagyság: $|M_P| = |\underline{F}|\,|\underline{r}|\sin\varphi$ , ahol $k = |\underline{r}|\sin\varphi$ az $\underline{r}$ vektornak az erőre merőleges vetülete.

1. ábraUgyanaz az erőkar, ellentétes forgásirány — az előjel dönti el, melyikről van szó.

1. út

Erő × kar, előjel szemléletből

A tankönyv gyakorlati módszere: az origóba tűt szúrva eldöntjük, merre forgatná az erő a papírt (↶ pozitív, ↷ negatív), a nagyságot pedig az erő és a karja abszolút értékének szorzataként írjuk fel: $M_P = \pm|\underline{F}|\,k$ . Az előjel a rajzról, a szám a képletből.

2. út

Komponensekkel, előjel a képletből

Ha az erő támadáspontja $P(x;\,y)$ , a nyomaték a két komponens nyomatékának összege: a függőleges komponens karja $x$ , a vízszintesé $y$ . Az előjelet itt a képlet hozza magával — a könyv ezt nem nevezi néven, mi Varignon-tételként hivatkozunk rá.

Nyomaték komponensekkel (a könyv 3.41 z-komponense)

M^{(O)} = x\,F_y - y\,F_x

Terület-trükk a karhoz (tankönyv 3.46)

Ha a hatásvonal a két tengelyt $a$ és $b$ távolságban metszi, az origó, a két metszéspont derékszögű háromszöget alkot. A területét kétféleképpen felírva a kar kiesik: $\dfrac{a\,b}{2} = \dfrac{\sqrt{a^2+b^2}\,k}{2}\ \Rightarrow\ k = \dfrac{a\,b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ . Nem kell szög, nem kell szinusz. A GYF‑A ezt mutatja meg számokkal.

Itt és a gyakorlaton	A tankönyvben	Megjegyzés
zérusrendszer	egyensúlyi erőrendszer, az eredője zéruserő $\underline{O}$	Ugyanaz: R = 0 és M = 0.
redukált erő és nyomaték, $(\underline{R},\ M^{(O)})$	társerő és társnyomaték, $(\underline{F}_A,\ \underline{M}_A)$	A társnyomaték az A ponton átmenő társerőhöz tartozik.
Varignon-tétel	nem nevezi néven: a nyomaték a komponensek nyomatékainak összege	A 3.7. ábra harmadik módszere.
erőkar	az erő karja, $k$	A hatásvonal és a pont távolsága.
erőpár nyomatéka	$\underline{M}_P = \underline{r}_{BA}\times\underline{F}_A$ , szabad vektor	Síkban ↶ / ↷ félköríves nyíllal.

Miért nem kell tudni, hol pontosan támad az erő

Ha az erőt a saját hatásvonala mentén eltoljuk, a nyomatéka nem változik — hiszen sem az erő, sem az erőkar nem lett más. Ezért elég a hatásvonalat ismerni, a támadáspontot nem. Az alábbi ábrán próbáld ki: told a támadáspontot a szaggatott vonal mentén, és figyeld, hogy a $k$ és az $M$ változatlan marad.

Próbáld ki

Húzd a támadáspontot. Ha a hatásvonala mentén tolod, a nyomaték nem változik.

Nagyság, F6,0 kNIrányszög, α35 °

Kétféleképpen, ugyanaz

M^{(O)} = x F_y - y F_x = 4{,}0\cdot 3{,}44 - 2{,}0\cdot 4{,}91

M^{(O)} = \pm F\,k = 6{,}0\cdot 0{,}66

Eredmény

M^(O) = 3,94 kNm

az erő balra (pozitív) forgat az O pont körül

2.2 Az erőpár

Két egyenlő nagyságú, ellentétes irányú, párhuzamos erő különleges eset: az eredő erejük zérus, tehát tolni nem tolják a testet — de forgatni forgatják. Az ilyen erőkettőst erőpárnak nevezzük, a nyomatéka pedig $M = F\,d$ , ahol $d$ a két hatásvonal merőleges távolsága.

Az erőpár nyomatéka minden pontra ugyanakkora. Éppen ezért nem kell megmondani, melyik pontra vonatkozik, és a rajzon bárhová oda lehet írni — a nyomaték szabad vektor.

2. ábraAz erőpár és az őt helyettesítő forgatónyomaték.

Hogy miért nem függ a nyomaték a ponttól, két sorban látszik. Az $A$ és $B$ pontban ható $\underline{F}_A$ , $\underline{F}_B = -\underline{F}_A$ erők nyomatéka egy tetszőleges $P$ pontra:

\underline{M}_P = \underline{r}_{PA}\times\underline{F}_A + \underline{r}_{PB}\times(-\underline{F}_A) = (\underline{r}_{PA} - \underline{r}_{PB})\times\underline{F}_A = \underline{r}_{BA}\times\underline{F}_A

A $P$ pont kiesett: csak a $B$ -ből $A$ -ba mutató vektor és az erő maradt. Az egyenértékűségi kijelentés tehát $(\underline{F}_A, \underline{F}_B) \ekv M$ , és a nagyság $|M| = F\,d$ .

Nyomaték erőpárrá alakítása

Visszafelé is megy: egy adott $M$ nyomatékot bármikor helyettesíthetünk egy erőpárral. A tankönyv 3.9. ábrája három változatot mutat, attól függően, mi adott.

3. ábraNyomaték erőpárrá alakítása a tankönyv 3.9. ábrája szerint: (a) adott hatásvonalak, (b) adott erő, (c) szabadon választott irány.

Adott a két hatásvonal

A kar $d$ ismert, az erők nagysága $F = |M|/d$ . Az irányukat úgy választjuk, hogy az erőpár $M$ -mel azonos értelemben forgasson.

Adott az egyik erő

A másik erő az ellentettje; a helyét a kar adja: $d = |M|/|F_1|$ . Ha rossz oldalra tesszük, az erőpár a kívánttal ellentétesen forgat — a rajz elárulja.

Az irány szabadon választható

Csak az erő nagysága adott: az irányt tetszőlegesen vehetjük fel. A kar nem függ tőle, mindig $|M|/F$ — csak a hatásvonalak fordulnak el vele együtt.

Próbáld ki – nyomatékból erőpár

Forgasd az irányt: a két erő elfordul, de a kar ugyanakkora marad.

Nyomaték, M (↶ pozitív)24 kNmAz erők nagysága, F6,0 kNAz erők iránya, β90 °

Az erőpár karja

M \ekv (\underline{F}_1, \underline{F}_2),\qquad |M| = F\,d

d = \frac{|M|}{F} = \frac{24}{6{,}0} = 4{,}000\ \text{m}

Eredmény

d = 4,000 m, F = 6,00 kN

az erőpár az óramutatóval ellentétesen forgat, mint M; az irány (β) nem változtat d-n

Több nyomaték eredője

Ha az erőrendszert csak nyomatékok alkotják, azok szabad vektorként egy közös pontba tolhatók, és komponensenként összeadódnak, mint a közös metszéspontú erők: $(M_1, M_2, M_3) \ekv M$ , $\sum M_{ix} = M_x$ stb. Síkban ez egyetlen előjeles összeg.

2.3 Redukálás egy pontra

Egy erőt el lehet tolni egy tetszőleges pontba, ha közben hozzáadunk egy forgatónyomatékot, amely pótolja az elveszett forgatóhatást. Ha ezt minden erővel megtesszük, az egész erőrendszer két adatra zsugorodik: egy $\underline{R}$ erőre és egy $M^{(O)}$ nyomatékra a választott pontban.

Az erőrendszer redukálása az O pontba (társerő és társnyomaték)

(\underline{F}_1,\dots,\underline{F}_n, M_1,\dots,M_m) \ekv (\underline{R},\ M^{(O)})

\Fx \sum F_{ix} = R_x,\qquad \Fy \sum F_{iy} = R_y,\qquad \Mp{O} \sum \left( x_i F_{iy} - y_i F_{ix} \right) + \sum M_j = M^{(O)}

Dinámrendszer: erők és nyomatékok együttHincz–Németh 3.3.3–3.3.4

Az erőket és a nyomatékokat együtt a könyv dinámoknak nevezi, a nyomatékot is tartalmazó erőrendszert dinámrendszernek. A koncentrált $M_j$ nyomatékok csak a nyomatéki egyenletbe kerülnek be (erőpárrá alakítva a vetületi egyenletben kiejtenék egymást), ott viszont előjelesen, karral szorzás nélkül. A síkbeli párhuzamos erőrendszerbe a nyomatékokat is beleértjük — a GYF‑B a tankönyv 3.10. ábráját számolja végig négyféle részhalmazzal.

Melyik pontot válasszuk?

Bármelyiket — az eredmény ugyanaz az erőrendszer marad, csak más alakban. Érdemes olyan pontot választani, amelyre sok erő nyomatéka nulla (mert a hatásvonala átmegy rajta), mert akkor kevesebbet kell számolni. Tartóknál ez általában az egyik támasz.

2.4 Az eredő három esete

A redukálás után kapott $(\underline{R},\ M^{(O)})$ pár alapján három eset lehetséges, és minden síkbeli erőrendszer pontosan az egyikbe tartozik.

4. ábraMinden síkbeli erőrendszer e három eset valamelyikébe esik.

1. eset

Egyetlen erő

Ha $\underline{R} \neq 0$ , az erőrendszer egyetlen erővel helyettesíthető. Ennek az erőnek a hatásvonalát úgy kell megkeresni, hogy ugyanakkora nyomatékot adjon, mint az eredeti rendszer.

2. eset

Erőpár

Ha $\underline{R} = 0$ , de $M^{(O)} \neq 0$ , az eredő tiszta forgatónyomaték. Ilyenkor a nyomaték minden pontra ugyanannyi.

3. eset

Zérusrendszer

Ha $\underline{R} = 0$ és $M^{(O)} = 0$ , az erőrendszer semmit nem csinál: a test egyensúlyban van. Erre épül majd az egész tartószámítás.

Az eredő erő zérus, de a rendszer mégsem zérusrendszer

A leggyakoribb tévedés az, hogy valaki kiszámolja a $\sum F_{ix} = 0$ és $\sum F_{iy} = 0$ egyenleteket, és ebből azt a következtetést vonja le, hogy az erőrendszer egyensúlyi. Pedig ez csak a fele a feltételnek: a nyomatéki egyenletet is fel kell írni. Ha az nem nulla, az eredő egy erőpár — a test nem mozdul el, de forogni fog. A 4. kidolgozott feladat éppen erről szól.

2.5 Az eredő hatásvonalának helye

Ha az eredő egyetlen erő, akkor van egy hatásvonala, és azon működve már nem kell mellé nyomaték. A hatásvonal helyét abból kapjuk meg, hogy az eredőnek ugyanazt a nyomatékot kell adnia az $O$ pontra, mint az egész eredeti erőrendszernek.

A hatásvonal metszéspontja a tengelyekkel

x_0 R_y = M^{(O)} \quad\Rightarrow\quad x_0 = \frac{M^{(O)}}{R_y} \qquad\text{illetve}\qquad y_0 = -\frac{M^{(O)}}{R_x}

Melyik oldalra tolódik az erő? (tankönyv 3.11. ábra)

Erő + nyomaték eredője ugyanakkora erő, $d = M/F$ -fel eltolva. Az oldalt a tankönyv félköríves-nyíl szabálya adja: az erő vektorának kezdőpontjából hátrafelé (az erővel ellentétes irányba) indítunk egy félköríves nyilat, amely $M$ -mel azonos irányba forgat — amelyik oldalra a nyíl vége kerül, ott van az eredő. A bizonyítás: $M$ -et erőpárrá alakítjuk úgy, hogy az egyik erő $\underline{F}_1 = -\underline{F}$ legyen; ez $\underline{F}$ -fel zéruserőt ad, és marad a pár másik tagja: $\underline{F}_2 \ekv \underline{R}$ .

5. ábraEgyetlen erő és nyomaték eredője: (a) a félköríves nyíl kijelöli az oldalt; (b) ugyanez erőpárrá alakítással bizonyítva.

Kvalitatív szabály 1

Azonos irányú párhuzamos erők

Az eredő a két hatásvonal között van, a nagyobb erőhöz közelebb; egyenlő erőknél középen. (A GYF‑2 négy egyenlő erőjének eredője ezért a számtani középen áll.)

Kvalitatív szabály 2

Ellentétes irányú párhuzamos erők

Az eredő a két hatásvonalon kívül esik, a nagyobb erő oldalán. Ha a két erő egyenlő nagyságú, nincs eredő erő — az erőpár.

Próbáld ki – kapcsolgasd a három nézetet

Erőrendszer redukálása

Húzd az erők támadáspontját. A halvány szaggatott vonal a hatásvonal.

erő	x [m]	y [m]	F [kN]	α [°]
F1
F2
F3
F4

Redukálás az O pontba

R_x = \sum F_{ix} = 43{,}000\ \text{kN}

R_y = \sum F_{iy} = 10{,}000\ \text{kN}

M^{(O)} = \sum (x_i F_{iy} - y_i F_{ix}) = -210{,}00\ \text{kNm}

Az eredő

egyetlen erő: R = 44,147 kN

iránya: α_R = 13,09°

hatásvonala az x tengelyt x₀ = -21,00 m-nél metszi

az y tengelyt y₀ = 4,88 m-nél metszi

2.6 Nyomaték a térben

Térben a nyomaték már nem skalár, hanem vektor: nemcsak azt kell tudni, mekkora a forgatás, hanem azt is, melyik tengely körül történik. A nyomatékvektort a helyvektor és az erő vektoriális szorzata adja, iránya pedig merőleges mindkettőre.

A három komponens egyben a három koordinátatengelyre vett nyomaték is. Figyeld meg, hogy mindegyik képletből hiányzik egy erőkomponens: amelyik párhuzamos az adott tengellyel, az nem forgat akörül.

\underline{M} = \underline{r} \times \underline{F}

M_x = y F_z - z F_y,\quad M_y = z F_x - x F_z,\quad M_z = x F_y - y F_x

6. ábraA nyomatékvektor merőleges az r és az F síkjára.

2.7 Nyomaték tengelyre

A három komponens a három koordinátatengelyre vett nyomaték volt. De tengely bármilyen irányú lehet. Egy $t$ tengelyre vett nyomatékot úgy kapunk, hogy a tengely egy tetszőleges $Q$ pontjára kiszámoljuk a nyomatékvektort, majd azt a tengely irányába eső $\underline{e}_t$ egységvektorra vetítjük:

Nyomaték tengelyre (tankönyv 3.42)

M_t = \underline{M}_Q\cdot\underline{e}_t = M_{Qx}e_{tx} + M_{Qy}e_{ty} + M_{Qz}e_{tz}

A $Q$ pont helye a tengelyen mindegy: ha a tengely mentén odébb visszük, $\underline{M}_Q$ csak egy tengelyre merőleges vektorral változik, aminek a vetülete nulla. Az előjel: a tengely pozitív vége felől nézve az óramutatóval ellentétes forgatás a pozitív. Két megállapítás következik, amelyeket a tankönyv külön kiemel:

7. ábraEgy erő csak a hozzá képest kitérő tengely körül forgat.

Mikor nem forgat egy erő egy tengely körül?

Ha a hatásvonala metszi a tengelyt (a karja nulla).
Ha párhuzamos vele (a tengely irányában tol, nem forgat).

Következmény: egy erő csakis a hozzá képest kitérő helyzetű tengelyek körül forgat. Ezért hiányzott a GYF‑1-ben minden komponensképletből az adott tengellyel párhuzamos erőkomponens.

Próbáld ki 3D-ben – erő, tengely, vetület

A 3D jelenet betöltése…

2.8 Térben négy eset: az erőcsavar

Térben a redukálás ugyanúgy megy, csak a társerő és a társnyomaték is háromkomponensű: három vetületi és három, az $A$ ponton átmenő tengelyekre felírt nyomatéki egyenlet. A döntés viszont már nem három-, hanem négyesélyes, és a negyedik esetnek síkban nincs párja.

8. ábraA térbeli eredő négy esete a társerő és a társnyomaték skaláris szorzata alapján.

1. eset

Egyensúly

$\underline{F}_A = 0$ és $\underline{M}_A = 0$ . Bármely más pontra ugyanez.

2. eset

Nyomaték

$\underline{F}_A = 0$ , $\underline{M}_A \neq 0$ : az eredő a nyomatékvektor, pontfüggetlen. Ez a GYF‑5.

3. eset

Erő

$\underline{F}_A \neq 0$ és $\underline{F}_A\cdot\underline{M}_A = 0$ : a nyomaték merőleges az erőre (vagy nulla), az erő eltolásával eltüntethető — mint síkban.

4. eset

Erőcsavar

$\underline{F}_A\cdot\underline{M}_A \neq 0$ : a nyomaték erőre merőleges részét eltolással elnyeljük, de marad egy, az erővel párhuzamos tengely körül forgató nyomaték. Erő + vele párhuzamos nyomaték: mint a facsavar behajtása.

A skaláris szorzat nem függ a ponttól

Más pontra redukálva a társnyomatékhoz az $\underline{F}_A$ -ra merőleges vektor adódik hozzá, aminek $\underline{F}_A$ -val vett skaláris szorzata nulla — ezért $\underline{F}_A\cdot\underline{M}_A$ értéke minden pontra ugyanaz, és a döntés egyértelmű. A Kalkulátorok részben egy osztályozó eszköz számolja ezt bármilyen adatra.

2. rész

Kidolgozott feladatok

A gyakorlat öt feladata, kiegészítve a tankönyv két példájával (GYF‑A és GYF‑B). Minden megoldás az egyenértékűségi kijelentéssel kezdődik. A GYF‑4 különösen fontos: ugyanazt az ábrát számolja végig háromféle adattal, és ezzel mind a három esetet megmutatja.

GYF‑A

M = −24 kNm négyféleképpen

⏱ 5 percTankönyv 3.7. ábra

Feladat

Az $\underline{r} = (2;\ 3)\ \text{m}$ támadáspontú $\underline{F} = (6;\ -3)\ \text{kN}$ erő nyomatékát az origóra négy különböző módon számítsd ki, és győződj meg róla, hogy mind ugyanazt adja!

A tankönyv 3.7. ábrája: az erő karja d, a hatásvonal tengelymetszetei 8 m és 4 m.

Megoldás

0 / 5 lépés

Előbb próbáld meg magad! Ha elakadtál, tárd fel a megoldást lépésenként.

Ugyanez filmen – a négy módszer egymás után

FilmGYF‑A · Ugyanaz a nyomaték négyféleképpen5 fejezet · 25 s

A négy módszer közül a tengelymetszetbe tolás a leggyorsabb kézi út: az egyik komponens karja mindig nulla.

GYF‑1

Térbeli erő nyomatéka a koordinátatengelyekre

⏱ 4 percA1. gyakorlat

Feladat

Számítsd ki az $\underline{r}$ támadáspontú $\underline{F}$ erő nyomatékait az origón átmenő $x$ , $y$ és $z$ tengelyekre!

\underline{r} = \begin{bmatrix} -5{,}0 \\ +3{,}3 \\ +4{,}7 \end{bmatrix}\ \text{m},\qquad \underline{F} = \begin{bmatrix} 800 \\ 600 \\ -300 \end{bmatrix}\ \text{N}

Megoldás

0 / 5 lépés

Előbb próbáld meg magad! Ha elakadtál, tárd fel a megoldást lépésenként.

Ugyanez 3D-ben – r × F forgatható jelenetben

A 3D jelenet betöltése…

GYF‑2

Négy párhuzamos erő eredője és helye

⏱ 2 percA1. gyakorlat

Feladat

Az ábrán négy azonos, $11\ \text{kN}$ nagyságú, lefelé mutató erő látható. Számítsd ki az eredőjük nagyságát és helyét!

Négy párhuzamos erő az x tengely mentén.

Megoldás

0 / 4 lépés

Előbb próbáld meg magad! Ha elakadtál, tárd fel a megoldást lépésenként.

Ugyanez filmen – párhuzamos erők eredője

FilmGYF‑2 · Négy párhuzamos erő eredője és helye4 fejezet · 14 s

Az ívek a nyomatékok: mind az óramutató irányába forgat, ezért mind negatív.

GYF‑B

Dinámrendszer: négy részhalmaz, négyféle eredő

⏱ 8 percTankönyv 3.10. ábra

Feladat

Az $A$ , $B$ , $C$ pontok egy vízszintes egyenesen vannak, $AB = 3\ \text{m}$ , $BC = 5\ \text{m}$ . Az ábra dinámjaiból képzett négy erőrendszer eredőjét keressük: a) $(\underline{F}_1, \underline{F}_2, \underline{F}_3, M_1, M_2)$ , b) $(\underline{F}_1, \underline{F}_2, \underline{F}_3)$ , c) $(\underline{F}_1, \underline{F}_3, M_2)$ , d) $(\underline{F}_2, M_1)$ .

A tankönyv 3.10. ábrája: F₁ = 2 kN ↓ A-ban, F₂ = 5 kN ↑ B-ben, F₃ = 3 kN ↓ C-ben; M₁ = 3 kNm ↷, M₂ = 12 kNm ↶.

Megoldás

0 / 5 lépés

Előbb próbáld meg magad! Ha elakadtál, tárd fel a megoldást lépésenként.

Ugyanez filmen – a négy részhalmaz

FilmGYF‑B · Dinámrendszer: erők és nyomatékok együtt8 fejezet · 32 s

A halvány elemek nem tartoznak az éppen vizsgált részhalmazba. A koncentrált nyomatékok csak a nyomatéki egyenletbe kerülnek.

GYF‑3

Szétszórt erőrendszer redukálása az origóra

⏱ 4 percA1. gyakorlat

Feladat

Redukáld az ábrán látható erőrendszert az origóra! Döntsd el, mi lesz az erőrendszer eredője, és számítsd ki!

Négy erő, mindegyik tengelyirányú, de más-más hatásvonalon.

Megoldás

0 / 5 lépés

Előbb próbáld meg magad! Ha elakadtál, tárd fel a megoldást lépésenként.

Ugyanez filmen – a redukálás lépésről lépésre

FilmGYF‑3 · Redukálás az origóra, majd az eredő hatásvonala6 fejezet · 19 s

Az ívek a hátramaradó erőpárokat mutatják: az óramutató irányába forgató negatív, az ellentétes pozitív.

Ferde erő komponensei a hatásvonal egy szakaszának vetületeiből (tankönyv 9.1)

F_x = \pm F\,\frac{l_x}{l},\qquad F_y = \pm F\,\frac{l_y}{l},\qquad l = \sqrt{l_x^2 + l_y^2}

\text{GYF-4:}\quad F_{1x} = -F_1\frac{5}{\sqrt{41}},\quad F_{1y} = -F_1\frac{4}{\sqrt{41}}\qquad\text{(az előjelek szemléletből)}

GYF‑4

Ugyanaz az ábra, háromféle adattal — mindhárom eset

⏱ 10 percA1. gyakorlat

Feladat

Redukáld az ábrán látható erőket és forgatónyomatékot az origóra! Döntsd el, mi lesz az erőrendszer eredője, és számítsd ki! A három hatásvonal a szaggatott háromszög három oldala, az $M$ pedig az óramutatóval ellentétesen forgat.

a) $F_1 = 12{,}81\ \text{kN},\ F_2 = 18{,}87\ \text{kN},\ F_3 = 24{,}00\ \text{kN},\ M = 17\ \text{kNm}$
b) $F_1 = 6{,}403\ \text{kN},\ F_2 = 9{,}434\ \text{kN},\ F_3 = 12{,}00\ \text{kN},\ M = 0$
c) $F_1 = 4{,}4\ \text{kN},\ F_2 = 6{,}6\ \text{kN},\ F_3 = 10{,}1\ \text{kN},\ M = 14\ \text{kNm}$

A három erő hatásvonala a háromszög három oldala.

Megoldás

0 / 7 lépés

Előbb próbáld meg magad! Ha elakadtál, tárd fel a megoldást lépésenként.

Ugyanez filmen – a három eset egymás után

FilmGYF‑4 · Ugyanaz az ábra, három adat — erőpár, erőpár, egyetlen erő5 fejezet · 21 s

A jobb felső sarokban a vektorlánc mutatja, zárul-e az erők összege; a bal oldali lista a nyomatékokat.

Mi kellene ahhoz, hogy tényleg zérusrendszer legyen?

A b) esetben az erők kioltják egymást, de a nyomaték megmarad. Ha az $F_3$ hatásvonala nem az $x = -3$ egyenes lenne, hanem átmenne a másik két erő metszéspontján, a $(2;\,0)$ ponton, akkor mindhárom erő egy ponton menne át. Ekkor a közös pontra vett nyomatékuk nulla volna, és mivel az erőösszeg is nulla, a rendszer valódi zérusrendszerré válna. Ez a különbség a „nem mozdul el” és az „egyensúlyban van” között.

GYF‑5

Térbeli erőrendszer eredője

⏱ 6 percA1. gyakorlat

Feladat

Határozd meg az ábrán látható térbeli erőrendszer eredőjét! A hat erő a hasáb élei mentén hat.

Hat erő a hasáb élein, zárt láncot alkotva.

Megoldás

0 / 5 lépés

Előbb próbáld meg magad! Ha elakadtál, tárd fel a megoldást lépésenként.

Ugyanez 3D-ben – a hasáb és a hat erő

A 3D jelenet betöltése…

3. rész

Kalkulátorok

Három eszköz: síkbeli erőrendszer redukálása, térbeli nyomaték számítása, és a térbeli eredő osztályozása — erő, nyomaték vagy erőcsavar.

Síkbeli erőrendszer redukálása

Add meg az erők helyét és irányát, a program pedig kiszámolja az eredőt, a nyomatékot és a hatásvonal helyét — és megmondja, a három eset melyikébe esik a rendszer. Alaphelyzetben a GYF‑3 adatai vannak betöltve.

Erőrendszer redukálása

Húzd az erők támadáspontját. A halvány szaggatott vonal a hatásvonal.

erő	x [m]	y [m]	F [kN]	α [°]
F1
F2
F3
F4

Redukálás az O pontba

R_x = \sum F_{ix} = 43{,}000\ \text{kN}

R_y = \sum F_{iy} = 10{,}000\ \text{kN}

M^{(O)} = \sum (x_i F_{iy} - y_i F_{ix}) = -210{,}00\ \text{kNm}

Az eredő

egyetlen erő: R = 44,147 kN

iránya: α_R = 13,09°

hatásvonala az x tengelyt x₀ = -21,00 m-nél metszi

az y tengelyt y₀ = 4,88 m-nél metszi

Térbeli nyomaték

A vektoriális szorzat mindhárom komponense, behelyettesítve. Próbáld ki, mi történik, ha az egyik erőkomponenst nullára állítod.

Térbeli nyomaték: M = r × F

–	x	y	z
r [m]
F [N]
M [Nm]	-3810,0	2260,0	-5640,0

A három tengelyre vett nyomaték

M_x = y F_z - z F_y = 3{,}3\cdot(-300) - 4{,}7\cdot600 = -3810{,}0

M_y = z F_x - x F_z = 4{,}7\cdot800 - (-5{,}0)\cdot(-300) = 2260{,}0

M_z = x F_y - y F_x = -5{,}0\cdot600 - 3{,}3\cdot800 = -5640{,}0

|\underline{M}| = 7171{,}7\ \text{Nm}

Figyeld meg

Mindegyik sorból hiányzik egy komponens: az $M_x$ -ben nincs $F_x$ , az $M_y$ -ban nincs $F_y$ , és így tovább. Ez nem véletlen: az erőnek az a komponense, amelyik párhuzamos egy tengellyel, nem forgat akörül a tengely körül. Írj be nullát az egyik erőkomponensbe, és nézd meg, melyik nyomaték nem változik.

Térbeli eredő osztályozása

Írd be a pontra redukált társerő és társnyomaték komponenseit: a program kiszámolja az $\underline{R}\cdot\underline{M}$ szorzatot, és besorolja az eredőt a négy eset egyikébe. A GYF‑5 adatai egy gombbal betölthetők.

Térbeli eredő: erő, nyomaték vagy erőcsavar?

–	x	y	z
R [kN]
M [kNm]

\underline{R}\cdot\underline{M} = 4\cdot2 + 0\cdot5 + 3\cdot1 = 11\ \text{kN}^2\text{m}

|\underline{R}| = 5{,}00\ \text{kN}

|\underline{M}| = 5{,}48\ \text{kNm}

M_{\parallel} = \frac{\underline{R}\cdot\underline{M}}{|\underline{R}|} = 2{,}20\ \text{kNm}

M_{\perp} = 5{,}02\ \text{kNm}

4. eset

Erőcsavar

R ≠ 0 és M-nek van R-rel párhuzamos vetülete: az eltolás után marad egy, az erővel párhuzamos tengely körüli nyomaték — mint a facsavar.

Az erőt $d = M_{\perp}/|\underline{R}| = 1{,}003\ \text{m}$ -rel eltoljuk, és marad $M_{\parallel} = 2{,}20\ \text{kNm}$ az erő tengelye körül.

Az $\underline{R}\cdot\underline{M}$ értéke nem függ attól, melyik pontra redukáltunk: a pont váltásakor M-hez egy R-re merőleges vektor adódik hozzá, aminek R-rel vett skaláris szorzata nulla.

4. rész

Gyakorlás

Előbb egy játék a szemnek, aztán kvíz, hibakereső és tizenkét feladattípus — mindegyik új számokkal minden indításkor.

Előbb játssz – hova tedd az erőt?

Játék

Mérleg-játék: hova tedd az erőt?

1 / 5. kör0 pont

A rúd a közepén csuklón áll. Erők és néha egy nyomaték terhelik. Húzd a kiegyensúlyozó erőt a rúd mentén oda, ahol ΣM = 0 — ellenőrzéskor a rúd megmutatja, merre billen.

Az ötlet – fogalmi kvíz

KvízÉrted, vagy csak számolod?

Tizenkét kérdés a modul tipikus félreértéseiről. Minden válasz után rövid magyarázat.

Kérdések betöltése…

Hibakereső – találd meg a hibát

HibakeresőElőjel a nyomatéknál1 / 4

Az alábbi megoldás egy helyen hibás. Kattints arra a lépésre, ahol a hiba van!

Egy F = 12 kN, +x irányú erő az y = 3 m magasságban hat (x tetszőleges). Mekkora a nyomatéka az origóra?

Számolós gyakorlás

További feladattípusok

Mikor mehetsz tovább

Akkor vagy kész ezzel a modullal, ha a „redukálás az origóra” feladatot végig tudod számolni segítség nélkül, és a végén meg tudod mondani, hogy az eredő erő, erőpár vagy zérusrendszer. A következő modulban ugyanezt fogod csinálni, csak az erők megoszló teherként lesznek megadva — előbb az eredőjüket kell megkeresni, és onnantól minden ugyanígy megy.