Statika
10Modul

Térbeli tartók

Minden tényleges szerkezet térbeli — eddig azért boldogultunk síkban, mert a feladat síkba egyszerűsíthető volt. Ebben a modulban a három egyenletből hat lesz, a nyomatékból nyomatékvektor, a támaszokból gömbcsukló, támasztórúd és térbeli befogás, egy keresztmetszeten pedig hat igénybevétel. Az ábrák forgathatók: nézd meg őket minden oldalról.

  • Térbeli erőrendszerek és a síkba vetítés
  • Térbeli kényszerek és a hat egyensúlyi egyenlet
  • Háromlábú bakállvány — csomóponti egyensúly térben
  • Mereven befogott konzol, gömbcsukló és támasztórudak
  • Térbeli rácsos tartó
  • A keresztmetszet hat igénybevétele: N, V, V, T, M, M
ElméletKidolgozott feladatokKalkulátorokGyakorlás

1. rész

Elmélet

A tankönyv 9. fejezete ugyanazon a három lépésen megy végig, mint a síkbeli feladatoknál: erőkkel végzett műveletek, megtámasztás és reakciók, végül a rúdszerkezet igénybevételei — mindenhol a síkban megszokott műveletekre építve. A koordináta-rendszer: x jobbra, y felfelé, z a néző felé (jobbkezes).

10.1 Térbeli erőrendszerek — amit a 2. modulból már tudsz

Az erő térben is kötött vektor: három komponens (vagy a nagyság és három hajlásszög, amelyek koszinuszainak négyzetösszege 1) és a támadáspont három koordinátája adja meg. A forgató hatást a M‾=r‾×F‾\underline M = \underline r\times\underline F vektoriális szorzat írja le: az eddig síkban számolt nyomaték mindig a síkra merőleges tengely körüli forgatás volt, térben a nyomatékvektor mindhárom komponense lényeges. A jobbkezes rendszerben a vektort szemből nézve (a nyila felénk mutat) az óramutató járásával ellentétesen forgat a pozitív.

Mindezt — a vektoriális szorzatot, a nyomatékot tengelyre (Mt=M‾Q⋅e‾tM_t = \underline M_Q\cdot\underline e_t), a pontra redukálást és az eredő négy térbeli esetét (egyensúly, nyomaték, erő, erőcsavar) — a 2. modulban (2.6–2.8) részletesen kidolgoztuk. Itt csak összefoglaljuk, ami a tartókhoz kell.

3 + 3 egyenlet

Egyensúly térben

Három vetületi egyenlet (x,y,zx, y, z) és három nyomatéki egyenlet a tengelyek körül. A nyomatéki tengelyeket bármely párhuzamos helyzetbe tolhatjuk — de két ponton átmenő hat tengely egyenletei már nem függetlenek.

(9.1)

Ferde erő komponensei

Ha a hatásvonal egy szakaszának vetületei lx,ly,lzl_x, l_y, l_z: Fx=±F lx/lF_x = \pm F\,l_x/l stb., l=lx2+ly2+lz2l = \sqrt{l_x^2 + l_y^2 + l_z^2}. Az előjelet szemléletből döntjük el. Ugyanígy vetítjük a nyomatékvektort is.

9.1.2

Az eredő térben

Pontra redukálás: társerő F‾A\underline F_A és társnyomaték M‾A\underline M_A, hat egyismeretlenes egyenletből. Mindkettő zérus → egyensúly; csak az erő zérus → nyomaték; F‾A⋅M‾A=0\underline F_A\cdot\underline M_A = 0 → egyetlen erő; egyébként erőcsavar.

A nyomatékvektor komponensei — ezt fogjuk minden feladatban használni
r‾×F‾=(yFz−zFy; zFx−xFz; xFy−yFx)\underline r\times\underline F = (yF_z - zF_y;\ zF_x - xF_z;\ xF_y - yF_x)
tengelyre: Mt=M‾Q⋅e‾t;az ero˝vel paˊrhuzamos vagy azt metszo˝ tengelyre Mt=0\text{tengelyre: } M_t = \underline M_Q\cdot\underline e_t;\quad \text{az erővel párhuzamos vagy azt metsző tengelyre } M_t = 0
Megoszló erő térbeli eredőjeHincz–Németh 9.1.3

Térbeli tartón a teher térfogat vagy felület mentén is megoszolhat. Az állandó intenzitású térfogati teher részeredője a rész térfogatának és az intenzitásnak a szorzata, helye a rész súlypontjában — vagy alakítsuk felületi teherré (az intenzitást az erő irányú kiterjedéssel szorozva). Felületi tehernél a síkidom területe × intenzitás a síkidom súlypontjában; változó intenzitásnál a terhelési test térfogata, a test súlypontján át. Háromszögön lineárisan változó teher (egy oldalon zérus, a szemközti csúcsban q0q_0): az eredő a terület és q0q_0 szorzatának harmada, a csúcsból induló súlyvonal csúcs felőli felezőpontjában. A folyadékkal töltött tartály (H13/4) épp ilyen feladat: G=γVG = \gamma V a töltés súlypontjában.

10.2 Síkba vetítés — a térbeli feladat két-három síkbeli rajza

A ferde vetületi egyenlet vagy a ferde tengelyre írt nyomatéki egyenlet „sok munkával, de kivitelezhető” — a tankönyv ezért a megfelelő térlátás kialakulásáig a feladat síkba vetítését javasolja. Az xyxy síkba vetített feladatnál az x,yx, y vetületi és a zz tengely körüli nyomatéki egyenletet használhatjuk, az yzyz síkban az y,zy, z vetületit és az xx körülit, a zxzx síkban a z,xz, x vetületit és az yy körülit. Kilenc egyenlet, de a vetületiek kétszer szerepelnek: hat független marad. Egyetlen csapda: a ferde erő komponenseinél a harmadik irányról se feledkezz meg.

Térben: F = (4; −5; 3) kN az E pontbanxyzEAFA ferde erő komponensei a (9.1) képlettel:Fx = F·lx/l, Fy = F·ly/l, Fz = F·lz/l.xy-sík (elölnézet): Fx, Fy, ΣMzFx, Fyxyyz-sík (oldalnézet): Fy, Fz, ΣMxFy, Fzzyzx-sík (felülnézet): Fz, Fx, ΣMyFx, FzxzA (az oszlop pontként látszik)Három síkbeli rajz, 3 × 3 = 9 egyenlet, de avetületiek kétszer szerepelnek: 6 független marad.
1. ábraUgyanaz a konzol térben és a három koordinátasíkba vetítve: minden nézetben két erőkomponens és egy nyomatéki tengely „él”. A karok mindig abban a nézetben látszanak, amelynek síkjára a tengely merőleges.

10.3 Térbeli kényszerek és a hat egyensúlyi egyenlet

Egy megtámasztott pontban három irányú eltolódást és három tengely körüli elfordulást gátolhatunk meg — a kényszerek ezek különböző kombinációit fogják le, a fokszámuk a felvett ismeretlen reakció-adatok száma. A tankönyv négy kapcsolattal foglalkozik:

a) merev befogás – fokszám 6AxMAxAyMAyAzMAz3 erő + 3 nyomaték: sem eltolódás,sem elfordulás nem lehetséges.b) támasztórúd – fokszám 1SCsak rúdirányú erő; húzottnakvesszük fel, a rúd tengelye mentén.c) gömbcsukló – fokszám 3AxAyAzHárom erőkomponens; a ponton átmenőbármely tengely körül szabad az elfordulás.d) tengelycsukló – fokszám 5AxAyAzMAxMAyA z tengely körül foroghat; a másik kételfordulást nyomaték, az eltolódásokat erő gátolja.
2. ábraTérbeli kényszerek és az elkülönítésükkor felvett reakciók a tankönyv 9.1. ábrája nyomán. Lila: reakcióerő-komponensek, bordó kettős nyíl: reakciónyomaték-komponensek (nyomatékvektor).
Fokszámok térben (tankönyv 9.2.1)
  • Merev befogás — 6: három reakcióerő- és három befogási nyomaték-komponens (Ax,Ay,Az,MAx,MAy,MAzA_x, A_y, A_z, M_{Ax}, M_{Ay}, M_{Az}).
  • Támasztórúd — 1: csak rúdirányú erő, a rúderő SS nagysága az ismeretlen (húzottnak vesszük fel).
  • Gömbcsukló — 3: semmilyen eltolódás, de a ponton átmenő bármely tengely körül szabad elfordulás: Ax,Ay,AzA_x, A_y, A_z.
  • Tengelycsukló — 5: a síkbeli csukló térbeli megvalósítása: három erő és a tengelyre merőleges két nyomaték; csak a tengely körül foroghat.

Egy merev testre hat független egyensúlyi egyenlet írható, ezért a határozott megtámasztáshoz a fokszámok összege hat kell legyen (szükséges, nem elégséges feltétel — 8. modul). Ezt hat megfelelően elhelyezett rúddal vagy egy gömbcsuklóval és három rúddal érhetjük el.

Az egyensúlyi kijelentés és a hat egyenlet írásmódja
(F‾1,…,A‾,M‾A)  =˙  O‾:∑Fix ⁣→ :   ∑Fiy ⁣↑ :   ∑Fiz ⁣↗ :   ∑Mix:  ∑Miy:  ∑Miz:(\underline F_1, \ldots, \underline A, \underline M_A) \ekv \underline O:\quad \Fx\ \ \Fy\ \ \Fz\ \ \textstyle\sum M_{ix}:\ \ \sum M_{iy}:\ \ \sum M_{iz}:
a nyomateˊki egyenletek tengelyeit oda tesszu¨k, ahol a legto¨bb ismeretlen kiesik (pl. a go¨mbcsukloˊn aˊt)\text{a nyomatéki egyenletek tengelyeit oda tesszük, ahol a legtöbb ismeretlen kiesik (pl. a gömbcsuklón át)}
Nem megfelelő megtámasztások (tankönyv 9.2.3) — a számlálás itt is csal
  • gömbcsukló + három rúd, ha az egyik rúd hatásvonala átmegy a csuklón, vagy mindhárom rúd párhuzamos;
  • hat rúd, ha négy párhuzamos, vagy a hatásvonalak egy közös pontban metszik egymást, vagy három rúd egy síkban fekszik és párhuzamos / egy ponton átmenő;
  • két gömbcsukló: a csuklókat összekötő egyenes körüli forgatást semmi nem egyensúlyozza — létezik teher, amire nincs egyensúly.

A hatismeretlenes egyenletrendszer felírását mindenképpen kerüljük: keressük az egyismeretlenes egyenletet — ha három rúd párhuzamos, a velük párhuzamos, két másik rúd hatásvonalát metsző tengelyre írt nyomatéki egyenletben csak a hatodik rúderő marad; gömbcsuklónál a csuklón átmenő tengelyek a nyeremény. Ha az ismeretlen együtthatója az így talált egyenletben nem nulla, a megoldás bármilyen teherre egyértelmű.

10.4 Háromlábú bakállvány — csomóponti egyensúly térben

Három támasztórúd egyetlen csomópontot támaszt, amelyre egyetlen koncentrált erő hat. A csomópontra ható erők közös metszéspontú térbeli erőrendszert alkotnak: a csomópontra írt három nyomatéki egyenlet 0=00 = 0 azonosság, marad a három vetületi egyenlet a három rúderőre. A rúderőket húzóerőként vesszük fel, komponenseiket a rudak vetületeivel írjuk fel:

A tankönyv (9.2)–(9.5) egyenletei
(F‾,S‾1,S‾2,S‾3)  =˙  O‾:∑Fix ⁣→ : Fx±S1l1xl1±S2l2xl2±S3l3xl3=0(\underline F, \underline S_1, \underline S_2, \underline S_3) \ekv \underline O:\qquad \Fx F_x \pm S_1\tfrac{l_{1x}}{l_1} \pm S_2\tfrac{l_{2x}}{l_2} \pm S_3\tfrac{l_{3x}}{l_3} = 0
ugyanıˊgy y eˊs z-re; a ± az ero˝k teˊnyleges iraˊnyaˊboˊl, szemleˊletbo˝l (vagy az egyseˊgvektor elo˝jeleˊbo˝l)\text{ugyanígy } y \text{ és } z\text{-re; a } \pm \text{ az erők tényleges irányából, szemléletből (vagy az egységvektor előjeléből)}
Háromlábú bakállvány (9.2.a ábra): három rúd, egy csomópont, egy erőxyz123CFα6 mx = -4 mx = 5 mz = -4 mx = 5 mz = 4 mA rudak vetületei (l_ix, l_iy, l_iz) a talppontok koordinátáiból;a rúdhossz l_i = √(l_ix² + l_iy² + l_iz²).
3. ábraA tankönyv 9.2.a ábrája számokkal (H13/3): a rudak vetületeit a talppontok koordinátáiból olvassuk le.
A csomópont elkülönítése (9.2.b ábra): (F, S₁, S₂, S₃) ≐ OFS1S2S3Három vetületi egyenlet, három rúderő;a nyomatéki egyenletek a csomópontra 0 = 0 azonosságok.
4. ábraA csomópont elkülönítése (9.2.b ábra): a teher és a három, talppont felé mutató rúderő.
Mikor egyértelmű a megoldás — és a tankönyv két tippjeHincz–Németh 9.2.2

Ha a három rúd nem esik egy síkba, a megoldás bármilyen teherre egyértelmű: páronként két rúd közös síkjára merőleges vetületi egyenletben csak a harmadik rúderő vetülete szerepel. Ugyanez nyomatéki egyenlettel: két támasztórúd talppontját összekötő egyenesre, mint tengelyre felírt egyenletben csak a harmadik rúderő nyomatéka ismeretlen — ebből az közvetlenül számítható. A GYF‑3-ban ezt ellenőrzésnek használjuk.

Próbáld ki – forgasd a bakállványt, változtasd a terhet: melyik rúd húzott, melyik nyomott?

A 3D jelenet betöltése…

10.5 Térbeli tartó reakciói — a mereven befogott konzol

A recept ugyanaz, mint síkban: elkülönítés → egyensúlyi kijelentés → egyenletek felírása és megoldása → ellenőrzés. Általános esetben többismeretlenes rendszer vagy korábban kiszámolt mennyiségek használata is kellhet (ilyenkor a később számolt mennyiséget tegyük az ellenőrző egyenletbe — így azt is ellenőrizzük, amire építettük). A mereven befogott konzolnál nincs ilyen nehézség: a három vetületi egyenletből a három reakcióerő-komponens, a befogás ponton átmenő tengelyekre írt három nyomatéki egyenletből a három nyomatékkomponens egyenként jön ki, mert a reakcióerők metszik a tengelyeket, a merőleges nyomatékkomponensek vetülete pedig nulla.

Mereven befogott konzol (tankönyv 9.3.a ábra)xyzAEa = 2 mb = 3 mFA befogás fokszáma hat: pontosan annyi, ahány egyensúlyi egyenlet van —a konzol statikailag határozott.
5. ábraMereven befogott, tört tengelyű konzol általános térbeli erővel (tankönyv 9.3.a ábra).
A konzol elkülönítése (9.3.b ábra): 3 erő- és 3 nyomatékkomponensxyzAEa = 2 mb = 3 mFAxMAxAyMAyAzMAzAz A ponton átmenő tengelyekre a reakcióerők nem forgatnak:mind a hat egyenlet egyismeretlenes.
6. ábraAz elkülönítés (9.3.b ábra): a befogás helyett három erő- és három nyomatékkomponens, a pozitív tengelyirányokban felvéve.
A befogott konzol reakciói vektorosan
A‾=−∑F‾i,M‾A=−∑(r‾i−r‾A)×F‾i−∑M‾j\underline A = -\sum\underline F_i,\qquad \underline M_A = -\sum(\underline r_i - \underline r_A)\times\underline F_i - \sum\underline M_j
elleno˝rzeˊs: nyomateˊki egyenlet a szabad veˊgre — minden tag ismert\text{ellenőrzés: nyomatéki egyenlet a szabad végre — minden tag ismert}

Próbáld ki – a szabadtest-ábra 3D-ben: cseréld le a befogást a hat reakcióra

A 3D jelenet betöltése…

10.6 Térbeli rácsos tartók

Csuklós csomópontok, csak a csomópontokban ható koncentrált erők, csak erőt átadó (nyomatékot nem) támaszok: a csomópontokban közös metszéspontú térbeli erőrendszer működik, csomópontonként három vetületi egyenlettel. A számlálás e=3ce = 3c, i=r+ki = r + k. A csomóponti módszer csomópontonként három rúderőt ad; egyetlen rúderő akkor számolható önmagában, ha a többi ismeretlen rúd egy síkban fekszik — az erre merőleges vetületi egyenletben csak ő szerepel (ez a térbeli vakrúd-keresés alapja is). Az átmetszéses módszer térben hatos átmetszés: a levágott rész szétszórt térbeli erőrendszer, hat egyenlet, hat rúd.

Térbeli rácsos tartó: csuklós csomópontok, csomóponti terhekxyz123456ABCGDE12 kN8 kNe = 3c egyenlet, i = r + k ismeretlen;a csomóponti módszer csomópontonként három rúderőt ad.
7. ábraTérbeli rácsos tartó a GYF‑6-ból: hat rúd, két szabad csomópont, négy gömbcsuklós talppont — e = 3·6 = 18 = 6 + 12 = i.

Próbáld ki – csomóponti módszer 3D-ben: válaszd ki a csomópontot, nézd a három egyenletét

A 3D jelenet betöltése…

10.7 Térbeli igénybevételek: N, Vy, Vz, T, My, Mz

A belső erők definíciója térben is ugyanaz: a keresztmetszet egyik oldalán lévő tartórész egyensúlyát biztosító erők. Egy térbeli keresztmetszeten a keresztmetszet középpontján átmenő erővektor és a hozzá tartozó nyomatékvektor komponensei az igénybevételek: a tengelyirányú erő a normálerő (NN, húzás pozitív), a keresztmetszet síkjába eső két erőkomponens a nyíróerők; a tengelyirányú nyomaték a csavarónyomaték (TT, pozitív, ha vektora kifelé mutat — kívülről a keresztmetszetre nézve az óramutatóval ellentétesen forgat), a síkba eső két komponens a hajlítónyomatékok.

A hat igénybevétel a K keresztmetszeten (a tartótengely az x)xyzKmegelőző részNVyVzTMyMzKkövető részNVyVzTMyMzA megelőző rész keresztmetszetén a pozitív igénybevétela globális tengelyek pozitív irányába mutat; a követő rész keresztmetszetén(hatás–ellenhatás) ugyanaz az igénybevétel a negatív irányba.N: kifelé mutató = húzás (+); T: a nyomatékvektor kifelé mutat (+);Vy, Vz, My, Mz: a tengelyek szerint. A számérték mindkét oldalon ugyanaz.
8. ábraA hat igénybevétel egy keresztmetszeten: a megelőző rész keresztmetszetén a pozitív komponensek a globális tengelyek pozitív irányába mutatnak, a követő részén ugyanezek ellentetten (hatás–ellenhatás).
Az előjelek térben (tankönyv 9.3)
  • A síkbeli „forgasd el a pozitív normálerőt 90°-kal” szabály térben nem egyértelmű (melyik tengely körül?). Ehelyett a tartó szakaszán lokális koordináta-rendszert veszünk fel; a keresztmetszetre a követő tartórész felől ható igénybevétel pozitív, ha nyila a lokális tengely pozitív irányába mutat; a megelőző részre ható igénybevétel ugyanezzel az előjellel az ellenkező irányba mutat.
  • Ha a tartó szakaszai a globális tengelyekkel párhuzamosak, nem kell külön lokális rendszer: a követő rész az, amelyik felé a tartó tengelyével párhuzamos globális tengely mutat, és a nyíróerők, hajlítónyomatékok előjelét a keresztmetszet síkjába eső két globális tengely adja.
  • A számítás elve pontra redukálás: az egyik rész összes erejét a keresztmetszet pontjába redukáljuk — a követő rész erőiből R‾K=∑F‾\underline R_K = \sum\underline F, M‾K=∑(r‾i−r‾K)×F‾i\underline M_K = \sum(\underline r_i - \underline r_K)\times\underline F_i; a megelőző részből ugyanez mínusz előjellel.
Igénybevételi ábrák térben?Hincz–Németh 9.3

Lehetne rajzolni axonometrikus nézetben, de az ábra pozitív és negatív oldalának meghatározása ugyanolyan problémás, mint az előjeleké. A két hajlítónyomatéki ábra kivétel: azokra előjeltől függetlenül igaz, hogy a húzott oldalra kerülnek — akárcsak síkban. A vizsgán egy keresztmetszet igénybevételeit kérik, berajzolva a keresztmetszet képébe (H13/2).

Próbáld ki – vágd el a konzolt bárhol: a hat igénybevétel a keresztmetszeten

A 3D jelenet betöltése…

10.8 Térfogati teher: folyadékkal terhelt szerkezet

A H13/4 feladat mindent összefoglal: egy tartályt γ=15 kN/m3\gamma = 15\ \text{kN/m}^3 fajsúlyú folyadék tölt ki, a tartályt gömbcsukló és három rúd támasztja, a sarkán vízszintes erő hat. A folyadék súlya térfogat mentén megoszló teher: eredője G=γVG = \gamma V a töltés súlypontjában (a falakra ható nyomás a tartály belső erője, a támaszokat nem terheli külön). Utána a 10.5 receptje: nyomatéki egyenletek a csuklón átmenő tengelyekre → a három rúderő egyenként; vetületi egyenletek → a csukló három komponense. Részletesen a GYF‑5-ben.

Térfogat mentén megoszló teher: folyadékkal töltött tartály (H13/4)xyzγ = 15 kN/m³123AF4 m2 m2 m3 m4 mA töltés súlya G = γ·V a töltés súlypontjában hat:ez a térfogati teher eredője.
9. ábraA H13/4 szerkezete: 4 × 4 × 2 m-es tartály, γ = 15 kN/m³, gömbcsukló A(4; 0; 4), két függőleges és egy vízszintes támasztórúd, F a felső sarkon.
Itt és a gyakorlatonA tankönyvben
nyomatékvektor, r‾×F‾\underline r\times\underline Fforgatónyomaték a (3.39) szerint; „mindhárom tengely körüli forgató hatás”
gömbcsukló (3), rúd (1), befogás (6), tengelycsukló (5)térbeli kényszerek és fokszámuk (9.2.1)
bakállvány, csomóponti egyensúlyháromlábú bakállvány, (F, S₁, S₂, S₃) ≐ 0
e‾i=l‾i/li\underline e_i = \underline l_i/l_i±Si lix/li\pm S_i\,l_{ix}/l_i
megelőző / követő tartórésza keresztmetszetet megelőző, illetve követő tartórész
N, Vy, Vz, T, My, Mznormálerő, nyíróerők, csavarónyomaték, hajlítónyomatékok
térfogati teher, G=γVG = \gamma Vtérfogat mentén megoszló erő (9.1.3)
e = 3c, i = r + ktérbeli rácsos tartó egyenletei és ismeretlenei
A leggyakoribb hibák — és hogyan kerüld el őket
  • A rúderő nem a rúd mentén. A rúd csak a tengelye irányában hat: bontsd Sie‾iS_i\underline e_i-re, a vetületi rajzról leolvasott (rövidebb) hossz helyett a térbeli lil_i-vel ossz.
  • Kar a rossz tengelyhez. Az erővel párhuzamos vagy azt metsző tengelyre a nyomaték nulla; ha bizonytalan vagy, Mx=yFz−zFyM_x = yF_z - zF_y és társai döntenek.
  • Megelőző rész plusz előjellel. A megelőző részből −∑-\sum, a követőből +∑+\sum; a két oldal ugyanazt adja — ez az ellenőrzésed.
  • 6 × 6-os egyenletrendszer. Kerüld: nyomaték a csuklón átmenő tengelyekre, vetület a többi rúd síkjára merőlegesen, szimmetria.
  • Előjel nélküli rúderő. Nyomott = negatív. A vizsga 5. feladatában „a helyes nagyságú és irányú reakciók érnek pontot”.

2. rész

Kidolgozott feladatok

Hét feladat a H13 feladatsorból, a vizsgamintából és a tankönyv 9.2–9.3 példáiból, számokkal. A recept mindig ugyanaz: elkülönítés → egyensúlyi kijelentés → egyismeretlenes egyenletek (hat egyenlet térben, három a csomópontban) → ellenőrzés → eredményvázlat. Három feladatot film is kísér — kettő közülük forgatható 3D-ben.

GYF‑1

Mereven befogott tört tengelyű konzol — a hat reakció

⏱ 6 perc

Feladat

Az AA pontban (origó) mereven befogott konzol függőleges szára b=3b = 3 m, vízszintes szára a=2a = 2 m hosszú, a −x-x irányba nyúlik. A szabad E(−2; 3; 0)E(-2;\ 3;\ 0) végén F=10 kNF = 10\ \text{kN} hat, a zz tengellyel párhuzamosan, a −z-z irányba (a nézőtől befelé). Határozd meg a befogás reakcióit!

H13/1: a = 2 m, b = 3 m, F = 10 kN a z tengellyel párhuzamosan (−z)xyzAEa = 2 mb = 3 mF = 10 kNA befogás az A pontban (origó); az E végpont koordinátái (−2; 3; 0) m.
A feladatlap rajza számokkal: x jobbra, y felfelé, z a néző felé. Az F erő nyila a −z irányba mutat.

Megoldás

0 / 6 lépés

Előbb próbáld meg magad! Ha elakadtál, tárd fel a megoldást lépésenként.

Ugyanez filmen, 3D-ben – a befogás reakciókra cserélése és a hat egyenlet

A 3D jelenet betöltése…
GYF‑2

A K1 és K2 keresztmetszet térbeli igénybevételei

⏱ 8 perc

Feladat

A GYF‑1 konzolján határozd meg a K1K_1 (a függőleges száron, y=1y = 1 m-re AA-tól) és a K2K_2 (a vízszintes szár közepén, x=−1x = -1 m) keresztmetszet igénybevételeit! Sorold fel a zérus értékűeket is, és rajzold be az igénybevételeket a keresztmetszetekbe!

H13/2: K1 a függőleges száron (1 m-re A-tól), K2 a vízszintes szár közepénxyzAEa = 2 mb = 3 mK1K2F = 10 kNK1 tengelye az y, K2 tengelye az x;a keresztmetszet síkja rendre az xz-, illetve az yz-síkkal párhuzamos.
A két keresztmetszet helye. K1 tengelye az y (a keresztmetszet síkja ∥ xz), K2 tengelye az x (síkja ∥ yz).

Megoldás

0 / 5 lépés

Előbb próbáld meg magad! Ha elakadtál, tárd fel a megoldást lépésenként.

Ugyanez filmen – síkba vetítve: nézetek, karok, előjelek

FilmGYF‑2 · K1 és K2 igénybevételei — síkba vetítve6 fejezet · 30 s
K1K2

A bal panel az elölnézet (xy), a jobb a felülnézet (zx). A karok mindig abban a nézetben látszanak, amelynek síkjára a forgástengely merőleges.

GYF‑3

Háromlábú bakállvány — a három rúderő a csomópont egyensúlyából

⏱ 8 perc

Feladat

A bakállvány csúcsa C(0; 6; 0)C(0;\ 6;\ 0), a rudak talppontjai 1:(−4; 0; 0)1:(-4;\ 0;\ 0), 2:(5; 0; −4)2:(5;\ 0;\ -4), 3:(5; 0; 4)3:(5;\ 0;\ 4) m. A csúcson F=10F = 10 kN hat az xyxy síkban, a +x+x tengellyel α=45∘\alpha = 45^\circ-ot bezáró egyenes mentén, balra-lefelé. Határozd meg a támasztórudakban ébredő erőket!

H13/3: F = 10 kN az xy síkban, α = 45°; C(0; 6; 0)xyz123CF = 10 kNα = 45°6 mx = -4 mx = 5 mz = -4 mx = 5 mz = 4 mTalppontok: 1 (−4; 0; 0), 2 (5; 0; −4), 3 (5; 0; 4) m.Az F a +x tengellyel α szöget bezáró egyenes mentén balra-lefelé mutat.
A feladatlap rajza számokkal. A szaggatott vonalak a talppontok x és z koordinátái (a rudak vetületei).

Megoldás

0 / 6 lépés

Előbb próbáld meg magad! Ha elakadtál, tárd fel a megoldást lépésenként.

Ugyanez filmen, 3D-ben – a csomópont elkülönítése és a három egyenlet

A 3D jelenet betöltése…
GYF‑4

Bakállvány függőleges rúddal, vízszintes teherrel — vizsgafeladat

⏱ 6 perc

Feladat

A csúcs C(0; 6; 0)C(0;\ 6;\ 0); talppontok 1:(0; 0; 4)1:(0;\ 0;\ 4), 2:(0; 0; 0)2:(0;\ 0;\ 0) (a 2-es rúd függőleges), 3:(5; 0; −4)3:(5;\ 0;\ -4) m. A csúcson 66 kN vízszintes erő hat a +x+x irányban. Határozd meg a támasztórudakban ébredő erőket!

Vizsgaminta 5.: F = 6 kN a +x irányban a C(0; 6; 0) csúcsonxyz123C6 kN6 mz = 4 mx = 5 mz = -4 mTalppontok: 1 (0; 0; 4), 2 (0; 0; 0) — a 2-es rúd függőleges —, 3 (5; 0; −4) m.
A vizsgaminta 5. feladata számokkal.

Megoldás

0 / 6 lépés

Előbb próbáld meg magad! Ha elakadtál, tárd fel a megoldást lépésenként.

GYF‑5

Folyadékkal töltött tartály gömbcsuklón és három rúdon — térfogati teher és hat egyenlet

⏱ 10 perc

Feladat

A 4×4×24\times 4\times 2 m-es (x∈[0;4], y∈[0;2], z∈[0;4]x\in[0;4],\ y\in[0;2],\ z\in[0;4]) tartályt γ=15 kN/m3\gamma = 15\ \text{kN/m}^3 fajsúlyú folyadék tölti ki. Támaszai: gömbcsukló az A(4; 0; 4)A(4;\ 0;\ 4) pontban; 1-es rúd függőlegesen a (0; 0; 4)(0;\ 0;\ 4) pontból lefelé; 2-es rúd a (4; 0; 0)(4;\ 0;\ 0) pontból a +x+x irányban a falhoz; 3-as rúd függőlegesen a (4; 0; 0)(4;\ 0;\ 0) pontból lefelé. A felső-elülső (0; 2; 4)(0;\ 2;\ 4) sarkon F=60F = 60 kN hat a −x-x irányban. Határozd meg a reakciókat!

H13/4: tartály 4 × 4 × 2 m, γ = 15 kN/m³, F = 60 kN (−x irány)xyzγ = 15 kN/m³123AF = 60 kN4 m2 m2 m3 m4 mA gömbcsukló A(4; 0; 4); az 1-es és 3-as rúd függőleges (3 m),a 2-es rúd az x tengely mentén (2 m).
A H13/4 feladat rajza számokkal: a tartály a folyadékkal (γ = 15 kN/m³), a gömbcsukló A és a három támasztórúd.

Megoldás

0 / 6 lépés

Előbb próbáld meg magad! Ha elakadtál, tárd fel a megoldást lépésenként.

GYF‑6

Térbeli rácsos tartó — csomóponti módszer három egyenlettel

⏱ 10 perc

Feladat

A rácsos tartó szabad csomópontjai D(2; 3; 2)D(2;\ 3;\ 2) és E(4; 3; 2)E(4;\ 3;\ 2), gömbcsuklós talppontjai A(0;0;0)A(0;0;0), B(6;0;0)B(6;0;0), C(0;0;4)C(0;0;4), G(6;0;4)G(6;0;4). Rudak: 1: D ⁣− ⁣AD\!-\!A, 2: D ⁣− ⁣CD\!-\!C, 3: D ⁣− ⁣BD\!-\!B, 4: D ⁣− ⁣ED\!-\!E, 5: E ⁣− ⁣BE\!-\!B, 6: E ⁣− ⁣GE\!-\!G. Terhek: EE-ben 12 kN, DD-ben 8 kN függőlegesen lefelé. Határozd meg a rúderőket!

GYF‑6: térbeli rácsos tartó, terhek E-ben 12 kN, D-ben 8 kN (lefelé)xyz123456ABCGDE12 kN8 kND(2; 3; 2), E(4; 3; 2);gömbcsuklós talppontok: A(0; 0; 0), B(6; 0; 0), C(0; 0; 4), G(6; 0; 4).
A térbeli rácsos tartó: hat rúd, két szabad csomópont, négy gömbcsuklós talppont.

Megoldás

0 / 5 lépés

Előbb próbáld meg magad! Ha elakadtál, tárd fel a megoldást lépésenként.

GYF‑7

Konzol általános térbeli erővel — hat reakció és hat igénybevétel, mind nullától különböző

⏱ 10 perc

Feladat

A GYF‑1 konzolját (a=2a = 2, b=3b = 3 m) az E(−2; 3; 0)E(-2;\ 3;\ 0) pontban F‾=(4; −5; 3)\underline F = (4;\ -5;\ 3) kN terheli. Határozd meg a befogás reakcióit, majd a K1(0; 1,5; 0)K_1(0;\ 1{,}5;\ 0) és K2(−1; 3; 0)K_2(-1;\ 3;\ 0) keresztmetszet igénybevételeit!

GYF‑7: F = (4; −5; 3) kN az E pontban; K1 (y = 1,5 m), K2 (x = −1 m)xyzAEa = 2 mb = 3 mK1K2FMost mind a hat reakció és a K1 keresztmetszetmind a hat igénybevétele nullától különböző.
Általános térbeli erő a konzol végén: |F| = √(16 + 25 + 9) = 7,071 kN.

Megoldás

0 / 5 lépés

Előbb próbáld meg magad! Ha elakadtál, tárd fel a megoldást lépésenként.

3. rész

Kalkulátorok

Mindkét kalkulátor a levezetést is kiírja a tankönyv írásmódjával, és a végén visszahelyettesít a hat (illetve három) egyensúlyi egyenletbe.

Támasztórudak kalkulátora — merev test térben, 3–6 rúddal és gömbcsuklóval

Add meg a rudak két végpontját, a gömbcsuklót, a terheket és a koncentrált nyomatékot: a program kiírja a hat egyensúlyi egyenletet (∑Fix ⁣→ : \Fx … ∑Miz\sum M_{iz}) az ismeretlenek együtthatóival, megoldja, és visszahelyettesít. Alaphelyzetben a H13/4 tartály.

Előre beállított
A (x; y; z) =

Támasztórudak — a test pontja → a rögzített vég [m] (3 db, 3 kell)

S1→
S2→
S3→

Terhek — támadáspont [m] és erő (Fx; Fy; Fz) [kN]

F1·
F2·
M (Mx; My; Mz) [kNm]

Levezetés — a hat egyensúlyi egyenlet

Ismeretlenek: S1, S2, S3, Ax, Ay, AzS_1,\ S_2,\ S_3,\ A_x,\ A_y,\ A_z — a rúderők húzóerőként a test pontjából a rögzített vég felé (e‾i\underline e_i), a csukló reakciói a tengelyek irányában. A nyomatéki egyenleteket a (4; 0; 4)(4;\ 0;\ 4) pontra írjuk (a gömbcsuklóra: így a három csuklóreakció kiesik belőlük).

e‾1=(0; −1; 0)\underline e_{1} = (0;\ -1;\ 0)
e‾2=(1; 0; 0)\underline e_{2} = (1;\ 0;\ 0)
e‾3=(0; −1; 0)\underline e_{3} = (0;\ -1;\ 0)
(F‾i,S‾1,S‾2,S‾3,A‾x,A‾y,A‾z)  =˙  O‾(\underline F_i, \underline{S}_{1}, \underline{S}_{2}, \underline{S}_{3}, \underline{A}_{x}, \underline{A}_{y}, \underline{A}_{z}) \ekv \underline O
∑Fix ⁣→ : −60+1 S2+1 Ax=0\Fx -60 + 1\,S_2 + 1\,A_x = 0
∑Fiy ⁣↑ : −480−1 S1−1 S3+1 Ay=0\Fy -480 - 1\,S_1 - 1\,S_3 + 1\,A_y = 0
∑Fiz ⁣↗ : 0+1 Az=0\Fz 0 + 1\,A_z = 0
∑Mix: −960−4 S3=0\sum M_{ix}:\ -960 - 4\,S_3 = 0
∑Miy: 0−4 S2=0\sum M_{iy}:\ 0 - 4\,S_2 = 0
∑Miz: 1080+4 S1=0\sum M_{iz}:\ 1080 + 4\,S_1 = 0

Megoldás (Gauss-elimináció részleges pivotálással; kézzel: keresd az egyismeretlenes egyenleteket — a nyomatékiakban itt csak a rúderők szerepelnek):

S1=−270,S2=0,S3=−240,Ax=60,Ay=−30,Az=0 kNS_1 = -270,\quad S_2 = 0,\quad S_3 = -240,\quad A_x = 60,\quad A_y = -30,\quad A_z = 0\ \text{kN}

Rudak: S1 nyomott, S2 = 0 (erőtlen), S3 nyomott.

Ellenőrzés: minden erő visszahelyettesítve az origóra írt hat egyenletbe:

∑F‾i=(0; 0; 0),∑M‾iO=(0; 0; 0) ✓\sum\underline F_i = (0;\ 0;\ 0),\qquad \sum\underline M_{iO} = (0;\ 0;\ 0)\ \checkmark

Bakállvány kalkulátor — csúcs, három talppont, teher → három rúderő

A tankönyv (9.3)–(9.5) egyenletei számokkal: rúdhosszak, egységvektorok, a három vetületi egyenlet, megoldás és ellenőrzés; felülnézeti vázlat a rúderők előjelével.

Előre beállított
Felülnézet (x jobbra, z lefelé)1: -10,392: 1,153: 1,15F vízszintes vetületepiros: húzott, kék: nyomott; a vastagság ∝ |S|

Levezetés (tankönyv 9.2.2)

A rúdvektorok a CC csúcsból a talppontokba, a rúderők húzóerőként, a csomópontra a talppont felé mutatnak: S‾i=Si l‾i/li\underline S_i = S_i\,\underline l_i / l_i.

l‾1=(−4; −6; 0),l1=7,211 m,e‾1=(−0,5547; −0,8321; 0)\underline l_1 = (-4;\ -6;\ 0),\quad l_1 = 7{,}211\ \text{m},\quad \underline e_1 = (-0{,}5547;\ -0{,}8321;\ 0)
l‾2=(5; −6; −4),l2=8,775 m,e‾2=(0,5698; −0,6838; −0,4558)\underline l_2 = (5;\ -6;\ -4),\quad l_2 = 8{,}775\ \text{m},\quad \underline e_2 = (0{,}5698;\ -0{,}6838;\ -0{,}4558)
l‾3=(5; −6; 4),l3=8,775 m,e‾3=(0,5698; −0,6838; 0,4558)\underline l_3 = (5;\ -6;\ 4),\quad l_3 = 8{,}775\ \text{m},\quad \underline e_3 = (0{,}5698;\ -0{,}6838;\ 0{,}4558)
(F‾,S‾1,S‾2,S‾3)  =˙  O‾(\underline F, \underline S_1, \underline S_2, \underline S_3) \ekv \underline O
∑Fix ⁣→ : (−7,071)−S1 47,211+S2 58,775+S3 58,775=0  ⇒  (−7,071)−0,5547 S1+0,5698 S2+0,5698 S3=0\Fx (-7{,}071) - S_1\,\tfrac{4}{7{,}211} + S_2\,\tfrac{5}{8{,}775} + S_3\,\tfrac{5}{8{,}775} = 0 \;\Rightarrow\; (-7{,}071) - 0{,}5547\,S_1 + 0{,}5698\,S_2 + 0{,}5698\,S_3 = 0
∑Fiy ⁣↑ : (−7,071)−S1 67,211−S2 68,775−S3 68,775=0  ⇒  (−7,071)−0,8321 S1−0,6838 S2−0,6838 S3=0\Fy (-7{,}071) - S_1\,\tfrac{6}{7{,}211} - S_2\,\tfrac{6}{8{,}775} - S_3\,\tfrac{6}{8{,}775} = 0 \;\Rightarrow\; (-7{,}071) - 0{,}8321\,S_1 - 0{,}6838\,S_2 - 0{,}6838\,S_3 = 0
∑Fiz ⁣↗ : 0+S1 07,211−S2 48,775+S3 48,775=0  ⇒  0+0 S1−0,4558 S2+0,4558 S3=0\Fz 0 + S_1\,\tfrac{0}{7{,}211} - S_2\,\tfrac{4}{8{,}775} + S_3\,\tfrac{4}{8{,}775} = 0 \;\Rightarrow\; 0 + 0\,S_1 - 0{,}4558\,S_2 + 0{,}4558\,S_3 = 0

A három egyenlet megoldása (a számítómag Gauss-eliminációval; kézzel: fejezd ki az egyik ismeretlent, és helyettesíts):

S1=−10,39 kN (nyomott),S2=1,149 kN (huˊzott),S3=1,149 kN (huˊzott)S_1 = -10{,}39\ \text{kN}\ (\text{nyomott}),\quad S_2 = 1{,}149\ \text{kN}\ (\text{húzott}),\quad S_3 = 1{,}149\ \text{kN}\ (\text{húzott})

Ellenőrzés visszahelyettesítéssel (a csomópontra ható erők összege):

∑F‾i=(0; 0; 0)≈0‾ ✓\sum\underline F_i = (0;\ 0;\ 0) \approx \underline 0\ \checkmark

4. rész

Gyakorlás

Előbb a játék a 3D bakállványon, aztán a fogalmi kvíz, a hibakereső és a számolós generátorok — a vizsga 5. feladatára készülve, minden indításkor új számokkal.

Előbb játssz – melyik rúd húzott?

A 3D jelenet betöltése…

Az ötlet – fogalmi kvíz

KvízÉrted, vagy csak számolod?

Tizenöt kérdés a hat egyenletről, a térbeli kényszerekről, a bakállványról, a rácsos tartóról és a térbeli igénybevételek előjeléről.

Kérdések betöltése…

Hibakereső – találd meg a hibát

HibakeresőA rúderő „lefelé”, nem a rúd mentén1 / 6

Az alábbi megoldás egy helyen hibás. Kattints arra a lépésre, ahol a hiba van!

Bakállvány: a csúcson F = 10 kN függőleges teher; a rudak ferdék. Számítsd ki a rúderőket!

Számolós gyakorlás

További feladattípusok
A félév vége — és mi jön ezután

Akkor vagy kész ezzel a modullal (és a Statikával), ha egy térbeli rajzról fel tudod írni a hat egyensúlyi egyenletet, a bakállvány rúderőit előjelhelyesen kiszámolod, egy befogott konzol reakcióit és egy keresztmetszet hat igénybevételét pontra redukálással megkapod, és a végén mindig ellenőrzöl egy nem használt egyenlettel. A Szilárdságtanban ugyanezek az igénybevételek folytatódnak: a keresztmetszet súlypontja és másodrendű nyomatéka (4. modul) segítségével az N,V,T,MN, V, T, M-ből feszültségek lesznek — σ=N/A+Mz/I\sigma = N/A + M z/I —, és a határozatlan tartók fölös reakcióit is az alakváltozásból számoljuk ki. Vissza az útvonalra, ha valamelyik korábbi modul még hiányzik.