Puska — tizenegy lap

α az x tengelytől, az óramutatóval ellentétesen. Ha a szöget a függőlegestől adták meg, sin és cos szerepet cserél.

A II. és III. síknegyedben +180°.

I: +,+ · II: −,+ · III: −,− · IV: +,−. Az arctg csak ±90°-ot ad — a síknegyedet a komponensek előjeléből döntsd el.

Rajzban: láncszabály (tip-to-tail) — a lánc vége az eredő hegye.

A vektorsokszög bezárul. A hiányzó erő a többi összegének ellentettje.

φ > 90° → a vetület negatív.

Összeadás komponensenként, ugyanúgy, mint síkban.

Pozitív: az óramutatóval ellentétes forgatás. k az erő karja: a pont távolsága a hatásvonaltól.

Két egyenlő, ellentétes, párhuzamos erő: R = 0, M = F·k minden pontra ugyanaz. Szabad vektor — bárhová eltolható.

R ≠ 0 → egyetlen erő, hatásvonala: $x_0 = M/R_y$, $y_0 = -M/R_x$. R = 0, M ≠ 0 → erőpár. R = 0, M = 0 → zérusrendszer (egyensúly).

Az erő nem változik, csak a nyomaték.

Merőleges r és F síkjára, jobbkéz-szabály. Tengellyel párhuzamos erő arra a tengelyre nem forgat.

−y·Fx előjele · „ΣF = 0, tehát egyensúly” (a nyomaték is kell!) · a redukálásnál az erőt is „átszámolni” · x₀ előjelét elhagyni.

Az eredő helye: a teherábra súlypontja.

Koordináták: x a tartó mentén, z lefelé; a lefelé ható teher pozitív.

Téglalap: $R = pL$, a közepén. Háromszög: $R = \tfrac12 pL$, a magas oldaltól L/3-ra. Trapéz: $R = \tfrac{p_1+p_2}{2}L$, $k = \tfrac{L}{3}\cdot\tfrac{p_1 + 2p_2}{p_1 + p_2}$ a p₁ oldaltól.

Bármilyen felbontás ugyanazt az eredőt adja. R = 0 esetén az eredő erőpár.

p a ferde hosszra (önsúly): $R = pL$. p a vízszintes vetületre (hó): $R = pL\cos\alpha$. Mindig nézd meg, mire vonatkozik.

Az eredő a fenéktől h/3-ra.

Belső erőkre (igénybevételekre) nem — csak a tartó egészének egyensúlyára, reakciókra, felborulásra.

Keresztmetszetnél: y balra, z lefelé. S_y-hoz a z távolság tartozik!

Téglalap: a közepe. Derékszögű háromszög: a derékszögű csúcstól a befogók harmadára (A = ah/2). Félkör és negyedkör: az egyenes él(ek)től $4r/3\pi \approx 0{,}424r$. Általános háromszög: a csúcsok átlaga.

1. Felbontás alapidomokra (hozzáadva / kivonva). 2. Táblázat: Aᵢ, yᵢ, zᵢ, Aᵢyᵢ, Aᵢzᵢ, összegek. 3. Osztás az összterülettel.

A lyuk területe és statikai nyomatéka is negatív. A súlypont a kivont résztől elfelé, a hozzáadott felé tolódik.

A súlypont minden szimmetriatengelyen rajta van; két tengelynél a metszéspont. Az anyagon kívül is lehet (L, U, körgyűrű).

A megoszló teher eredője a teherábra súlypontján megy át. A súlyponti tengelyre S = 0 — hajlításnál ez a semleges tengely.

Két erőrendszer egyenértékű, ha ugyanaz a hatásuk — a ≐ kijelentés, nem egyenlet. Tulajdonságai: tranzitív (𝓐 ≐ 𝓑 és 𝓐 ≐ 𝓒 ⇒ 𝓒 ≐ 𝓑) · mindkét oldalt ugyanazzal az erővel kiegészíthetjük vagy csökkenthetjük · egy erő átvihető a másik oldalra, ha az előjelét megfordítjuk. Egyensúlyi rendszer hozzáadása az eredőt nem változtatja.

Olyan egyenértékűségi kijelentés, amelynek egyik oldalán zéruserő áll. Ismert és ismeretlen erők ugyanazon az oldalon. Síkban 3, térben 6 skalár egyenlet következik belőle — nem több.

Helyettesítés: az ismert erőrendszer egyik oldalon, a keresett eredő (egyetlen hatás) a másikon: (F₁, F₂, F₃) ≐ R. Egyensúlyozás: az ismert erőket ismeretlenekkel egészítjük ki zéruserőre: (F₁, F₂, F₃, C, D) ≐ O. Kiegészítés: a kettő keveréke, mindkét oldalon van ismeretlen: (A, B, P) ≐ R, ahol R pl. vízszintes.

A sor elején az egyenlet jellege és a pozitív irány:

Tartóknál ↓ és ↷ a pozitív (z lefelé); egyensúlynál a jobb oldal 0.

Síkbeli vagy térbeli, és ezen belül: közös hatásvonalú · közös metszéspontú · párhuzamos · általános helyzetű (szétszórt). A fajta dönti el, hány egyenletet írhatsz: közös metszéspontú síkban 2, általános síkban 3, térben 6.

Síkban (3): egyetlen erő (R ≠ 0) · erőpár (R = 0, M ≠ 0) · egyensúly (R = 0, M = 0).

Térben (4), a társerő R és a társnyomaték M alapján: egyensúly (R = 0, M = 0) · nyomaték (R = 0, M ≠ 0) · egyetlen erő (R ≠ 0, $\underline{R}\cdot\underline{M} = 0$: M merőleges R-re, eltolással eltüntethető) · erőcsavar (R ≠ 0, $\underline{R}\cdot\underline{M} \ne 0$: erő + a hatásvonalával párhuzamos nyomaték).

Görgő: 1 (a gördülési síkra merőleges erő). Rúd, kötél: 1 (rúdirányú, húzottnak felvéve). Csukló: 2 (A_x, A_y). Befogás: 3 (A_x, A_y, M_A).

Síkban 3 független egyenlet → a fokszámok összege legalább 3 (de ez nem elég: három közös metszéspontú hatásvonal nem tartó).

1. elkülönítés (támaszok helyett reakciók) · 2. egyensúlyi kijelentés $(\underline F, \underline p, \underline A, \underline B) \ekv \underline O$ · 3. egyismeretlenes egyenletek · 4. ellenőrző egyenlet ≈ 0 · 5. eredményvázlat (tényleges irány, pozitív nagyság).

Egy erő nem szerepel a rá merőleges vetületi egyenletben és a hatásvonalára írt nyomatéki egyenletben; egy nyomaték nem szerepel a vetületi egyenletekben.

Két nem párhuzamos ismeretlen → nyomatéki egyenlet a metszéspontjukra (főpont); két párhuzamos → rájuk merőleges vetületi egyenlet.

Ellenőrzés: $\Fy$. Ferde görgőnél B a síkra merőleges: a függőlegessel a sík hajlásszögét zárja be.

Ellenőrzés: nyomatéki egyenlet egy másik pontra (pl. a szabad végre).

Ugyanaz, mint a görgő: ismert hatásvonal, ismeretlen nagyság. Pozitív S = húzott, negatív S = nyomott rúd. Kötélnél S < 0 nem lehet.

Három rúd: főpontok O₁, O₂, O₃; két párhuzamos rúdnál a rájuk merőleges vetületi egyenlet.

Az eredővel számolunk: nagysága a teherábra területe, helye a súlypont (téglalap: L/2, háromszög: L/3 a magas oldaltól) — csak a reakciókhoz, a belső erőkhöz nem.

Belső csukló (fokszám 2): az összekapcsolt pontok eltolódása azonos, elfordulásuk eltérhet → két belső reakcióerő-komponens ($C_x, C_y$), nyomaték nincs. Belső rúd (1): a két csuklót összekötő hatásvonalú $S$, húzottnak felvéve — töröttvonalú elem is rúd, ha csak két pontján kapcsolódik és más erő nem hat rá.

A belső reakciók párban, egymás ellentettjeként lépnek fel: $C' = -C$ (hatás–ellenhatás).

1. Elkülönítés: a testeket a földtől és egymástól is; a csuklót külön, ha kettőnél több erő hat rá.
2. Egyensúlyi kijelentés minden testre (+ az egészre, ahol a belső erők kiesnek).
3. Egyismeretlenes egyenletek — az egyenlet elé írd: I:, II:, Σ:.
4. Ellenőrzés egy nem használt (lehetőleg Σ) egyenlettel.
5. Eredményvázlat testenként.

Gerber: (2+1+1) + 2 = 6 = 3·2. Háromcsuklós: (2+2) + 2 = 6. Függesztőmű (5.13): (2+1) + 2 + 5 = 10 = 3·2 + 2·2. Egyenlő → határozott (ha nem degenerált).

Befüggesztett rész: külső kényszereivel nem áll meg, elkülönítve pontosan 3 ismeretlen (pl. $C_x, C_y, D$) → kéttámaszú tartóként: $\Mp{C} \to D,\ \Mp{D} \to C_y,\ \Fx \to C_x$. A csuklóerő ellentettje teherként a fix részre → megint egyszerű tartó. Befogott fix résznél a másik oldal a befüggesztett.

Testenként 4 ismeretlen, 3 egyenlet → az egész segít: azonos magasságú támaszoknál $\Sigma\!:\ \Mp{A} \to B_y,\ \Mp{B} \to A_y$; aztán $\text{II}\!:\ \Mp{C} \to B_x$ (a csuklóban $M = 0$), $\Fx \to A_x$, végül egy test vetületeiből $C$. Eltérő magasság: kétismeretlenes rendszer ($\Sigma\ \Mp{B}$ + $\text{I}\ \Mp{C}$). A vízszintes reakció függőleges tehernél sem nulla!

A csukló külön „test”: rá $F$ és a két csuklóerő ellentettje hat → két vetületi egyenlet. $C_I = F - C_{II}$: a két testre ható csuklóerő nem egymás ellentettje, a különbségük a teher. Sorrend: befüggesztett rész → csukló → fix rész. Az összegzett ellenőrzésben a csuklón ható $F$ benne marad.

Egész szerkezet → $A, B$; test + csukló összevonva (I+D) → $\Mp{C} \to S_3$, vetületek → $C$; a rúdcsuklók (D, E) vetületeiből a többi rúderő. Függesztőmű: felső öv és ferde rudak nyomottak, függőlegesek húzottak; feszítőmű = tükörkép. Egy rúddal kapcsolt befüggesztett résznek csukló kell a földhöz (1 + 2 = 3).

Csuklós csomópontok, egyenes rudak, csak csomóponti teher → a rudakban csak rúderő ($S$) ébred, mindig húzottnak felvéve ($S < 0$ = nyomott). Jelölés: $S_{i,j}$, a kisebb sorszám elöl.

$r$ rudak, $k$ kényszerfokszám (csukló 2, görgő 1), $c$ csomópontok. X-rácsozás: $r + k > 2c$ — határozatlan. Elnevezések: övrúd (felső/alsó öv), oszlop, rácsrúd, összekötő rúd.

1. Reakciók az egész rácsozatból (egy merev test: $\Mp{A} \to B,\ \Fx \to A_x,\ \Fy \to A_y$).
2. Vakrudak ránézésre (három alapeset), a rúd tengelyére rajzolt kis kör.
3. Csomóponti módszer a támaszoktól befelé, vagy átmetszés a belső rudakhoz.
4. Ellenőrzés a nem használt csomóponti / vetületi egyenlettel.
5. Eredmény: rúderőtáblázat (rúd | húzott [kN] | nyomott [kN]).

Olyan csomópont, ahol ≤ 2 ismeretlen rúderő van (vagy 3, de kettő egy egyenesben). Két vetületi egyenlet; az elsőt a másik ismeretlen rúdra merőlegesen vetítve írd (így egyismeretlenes), a másodikba az előbb kiszámolt rúderő vetületét ne hagyd ki.

A rúd a csomópontot mindig a rúd másik vége felé húzja: ismert rúderő = $S\,(e_x, e_y)$ a saját előjelével. A kerekítési hiba továbbgörög — a végénél érdemes a másik támasztól is indulni.

• a) terheletlen csomópont, két nem egy egyenesbe eső rúd → mindkettő vakrúd;
• b) terheletlen csomópont, három rúd, kettő egy egyenesben → a harmadik vakrúd (a két egy egyenesbe eső rúd ereje egyenlő);
• c) két rúd + a csomópont terhe (vagy ismert irányú reakciója) az egyik rúd egyenesében → a másik vakrúd.

Mindig a közös egyenesre merőleges vetületi egyenletből. Ha találtál egyet, nézd újra a szomszédos csomópontokat (továbbterjed). Csuklós támasznál előbb a reakció kell (irány!). A vakrúd a teherállástól függ — nem hagyjuk el.

Három rúd átvágásával a tartó két részre esik; az egyik részre (amelyikre kevesebb külső erő hat) három egyensúlyi egyenlet. Minden rúderőhöz a másik kettő metszéspontja a főpont:

Párhuzamos övű tartó: felső öv → nyomaték az alsó öv csomópontjára ($S = -M/h$), alsó öv → nyomaték a felső csomópontra, rácsrúd → függőleges vetület ($S\sin\alpha = -V$). Ferde öv: a főpont a tartón kívül is lehet; a rúderő komponenseit külön karral: $M = x\,S_y - y\,S_x$.

K-rács: ferde átmetszés az oszlopon (két öv + a két oszlopfél): a két oszlopfél ereje közös hatásvonalú → az oszlop alsó/felső végpontjára írt nyomatékból az övek egyenként; a két oszlopfélnek csak az eredője. Egyenes átmetszés a mezőn (két ismert öv + a K két szára) → a szárak két vetületi egyenletből (ellentett előjelűek).

Mellékrácsozás: a mellékrudak csomóponti módszerrel (függőleges az alsó csomópontból, ferde a felsőből, a fő rácsrúdra merőleges vetület), vagy hármas + négyes átmetszés.

Gerber / háromcsuklós rácsos tartó: a rácsozatok merev testek → előbb az összetett tartó reakciói (6. modul), utána rúderők. Két csukló + egy összekötő csomópont: $\Mp{A}, \Mp{B}$ az egészre, $\Mp{C}$ az egyik részre → $A_x$, $\Fx$ → $B_x$.

Rúdján terhelt rúd: elkülönítve kéttámaszú tartó; a végeken $S^m_j, S^m_k$ (nyomaték a másik végpontra), $S^S_k = S^S_j - F^S$; ezek ellentettjei csomóponti terhek. A terhelt rúdban $N$ mellett $V$ és $M$ is ébred ($M_{\max} = P\,c_1 c_2/\ell$).

Feladat (adott teher): van megoldás és egyértelmű → határozott; nincs (ellentmondás) → túlhatározott; van, de nem egyértelmű → határozatlan. Tartó (bármilyen teher): határozott / határozatlan = tartó; túlhatározott / határozatlan és túlhatározott = nem tartó (van teher, amit nem bír).

görgő 1, rúd 1, csukló 2, befogás 3; belső csukló $2(n-1)$ (n test), belső rúd 1. Térben: 6 egyenlet / test; rácsos tartó: $e = 2c$, $i = r + k$ (térben $3c$).

$e = i$: lehet határozott (szükséges, nem elégséges). $e > i$: legalább $e - i$ szabad mozgás — biztosan nem tartó. $e < i$: legalább $i - e$ fölös kényszer — biztosan nem határozott. $i - e$ mindig csak a (fölös − szabad) különbség!

• három párhuzamos görgő / rúd → a merőleges eltolódás szabad;
• három egy ponton átmenő hatásvonal → a pont körüli elfordulás szabad;
• görgő, amelynek hatásvonala átmegy a csuklón;
• egy egyenesbe eső három csukló (háromcsuklós tartó, Gerber rossz csuklókkal);
• két testet összekötő rudak párhuzamosak a külső csuklók egyenesével;
• rácsos: mező átló nélkül + fölös átló máshol; két görgő.

1. Egyismeretlenes menetrend: minden egyenletben egy új ismeretlen, nemzérus együtthatóval → határozott.
2. Vagy: egy teherre egyértelmű megoldás → határozott.
3. Lefejtés: csukló + görgő (2 + 1) megtámasztású befüggesztett rész levehető, ha a görgő nem megy át a csuklón; két test, csuklókkal 2-2-2 → háromcsuklós, ha a csuklók nem egy egyenesen.
4. Rácsos: háromszögekből építhető-e (új csukló két nem egy egyenesbe eső rúddal), és jól támasztott-e a merev test.

$i - e$ fölös kényszer elvétele úgy, hogy a maradék határozott legyen: görgő elvétele, csukló ferde görgővé (vízszintes komponens maradjon!), befogás csuklóvá, belső csukló beiktatása (paraméter: a hajlítónyomaték, két ellentett nyomaték). A fölös reakció szabad paraméter, értékét az alakváltozás (merevség) dönti el → Szilárdságtan. Kinematikai teherre (hő, támaszsüllyedés) is ébred reakció.

• három vagy több párhuzamos külső reakcióból legfeljebb kettőt tarts meg;
• három vagy több közös metszéspontúból legfeljebb kettőt;
• ha ismeretlen nyomaték is hat a testre (befogás), a párhuzamos reakciókból legfeljebb egyet;
• ha egy kivételével minden ismeretlen párhuzamos, a kivételt ne vedd el.

A keresztmetszet belső erőrendszere: N normálerő (tengelyirányú), V nyíróerő (a keresztmetszet síkjában), M hajlítónyomaték. Bal és jobb oldali részre azonos előjel és nagyság → nincs b/j index.

• $N > 0$: kifelé mutat, húz.
• $V > 0$: a pozitív $N$ irányát az óramutató szerint 90°-kal elforgatva (bal részen lefelé, jobb részen felfelé).
• $M > 0$: a kijelölt pozitív oldal (vízszintesnél az alsó) húzott; az ábra a húzott oldalra.

A rajz oldala (8.3.2): mindhárom ábrát a tartó ugyanazon pozitív oldalára rajzoljuk — arra, amelyiket a nyomaték pozitív definíciójához választottunk (vízszintes tartónál alulra). Így a pozitív $N$, $V$ és $M$ mindig a tartó alatt, a negatív fölötte van (8.9. ábra); a „+” jel a tengely alatt.

Bal rész, óramutató szerint pozitív egyenlet: $\Mj{K} +A_y x_K - F(x_K - x_F) - M_K = 0$; $\Fy A_y - F - V_K = 0$; $\Fx A_x + F_x + N_K = 0$.

Az M szélsőértéke ott, ahol $V = 0$. A parabola a teher irányába „lóg” (kötélalak), belógása a húrtól $q\ell^2/8$.

• Merőleges erő: V ugrik az erővel, M törik (a törés konvex oldala az erő nyilának konvex oldalán).
• Tengelyirányú erő: N ugrik, V és M változatlan.
• Ferde erő: N és V ugrik, M törik.
• Koncentrált nyomaték: M ugrik $M_0$-lal, V nem változik → az érintők párhuzamosak. Balról jobbra: ↶ nyomaték csökkenti, ↷ növeli az M-et.
• Tartóvég: erő (reakció) nélkül V = 0, nyomaték nélkül M = 0. Görgő/csukló: M = 0, V = reakció. Befogás: M ≠ 0.
• Belső csukló: M = 0 (kivéve, ha közvetlenül mellette koncentrált nyomaték hat); V ≠ 0.

Szakaszhatár még: megoszló teher kezdete/vége/törése, a tengely törése, elágazás.

Két szimmetrikus F (a-ra a támaszoktól): közöttük $V = 0$, $M = Fa$ állandó. Konzol: felül húzott, az ábra fent.

Reakciók a szokásos módon (vízszintes/függőleges karok). $N$, $V$: a bal rész eredőjét ($R$, felfelé +) bontsd a tengely irányába és arra merőlegesen:

Függőleges teher ferde tartón normálerőt is ad. Megoszló teher: hossz mentén vagy vetületre? ($q_\perp = p\cos\alpha$, parabola-belógás $q_\perp\ell^2/8$ a ferde hosszal.) Az N és V ábra a rúdra merőlegesen mérve, az M-mel azonos (pozitív) oldalra.

A törés az N és V ábrán mindig szakaszhatár (az irányuk változik). A sarokban (koncentrált nyomaték nélkül) a két csonk nyomatéka egyenlő nagyságú, ellentétesen forgat → az ábra befordul: mindkét oldalon a külső, vagy mindkét oldalon a belső oldalon. Alul befogott oszlop: felülről számolj; a sarok alatti oszlopban $N$ = a gerenda függőleges terhe (nyomott), $V$ = a vízszintes erők. Elágazásnál a csomópontra rajzolt félköríves nyilak nyomatéki egyensúlya az ellenőrzés (8.12. ábra).

1. Befüggesztett rész: kéttámaszú tartó a csuklón és a görgőn → görgőreakció, csuklóerő.
2. A csuklóerő ellentettje teherként a fix rész konzolvégén → egyszerű tartó.
3. Ábrák egy közös rajzba, azonos léptékkel: a csuklónál folytonosan csatlakoznak, az M a csuklón átmegy a tengelyen.
4. Ellenőrzés: balról a csuklóig felírt nyomaték = 0; a támasz fölött M negatív (felül húzott).

Bármely keresztmetszet legalább négyféleképp számolható (testek × oldalak) — válaszd a legegyszerűbbet, a többi ellenőrzés.

Egyensúlyi kijelentés: $(\underline F_i, \underline A, \ldots) \ekv \underline O$. Nyomatékvektor: $\underline M = \underline r\times\underline F$, $M_x = yF_z - zF_y$, $M_y = zF_x - xF_z$, $M_z = xF_y - yF_x$. Tengelyre: $M_t = \underline M_Q\cdot\underline e_t$. Ferde erő: $F_x = F\,l_x/l$, $l = \sqrt{l_x^2 + l_y^2 + l_z^2}$ — a harmadik vetületet ne hagyd ki!

gömbcsukló 3 ($A_x, A_y, A_z$); támasztórúd 1 (rúdirányú $S$, húzottnak felvéve); merev befogás 6 (3 erő + 3 nyomaték); tengelycsukló 5 (3 erő + 2 nyomaték). Egy test: 6 egyenlet → összfokszám 6 kell (szükséges, nem elégséges). Rossz: két gömbcsukló; rúd a csuklón át; 3 párhuzamos rúd; 4 párhuzamos rúd; 3 egy síkú, párhuzamos/egy ponton átmenő rúd.

$\underline l_i$ a csúcsból a talppontba, $\underline e_i = \underline l_i/l_i$; a csomópontra $S_i\underline e_i$ hat. $S < 0$: nyomott. Trükk: nyomaték két talppontot összekötő tengelyre → csak a harmadik rúd; vetület két rúd síkjára merőlegesen → csak a harmadik rúd. Kritikus, ha a három rúd egy síkban van.

Az A-n átmenő tengelyekre a reakcióerők nem forgatnak → mind a hat egyenlet egyismeretlenes. Ellenőrzés: nyomaték a szabad végre (E) — minden tag ismert.

Nyomatéki egyenletek a csuklón átmenő tengelyekre: a csukló kiesik, egy-egy rúderő marad; utána vetületek → $A_x, A_y, A_z$. Hat rúdnál: tengely, amely párhuzamos három rúddal és metszi két másik hatásvonalát → csak a hatodik marad. Térfogati teher: $G = \gamma V$ a töltés súlypontjában.

$e = 3c$, $i = r + k$. Csomóponti módszer: 3 egyenlet / csomópont → 3 rúderő; ott kezdj, ahol ≤ 3 ismeretlen rúd fut össze. Egy rúd önmagában számolható, ha a többi ismeretlen egy síkban van (a síkra merőleges vetület). Átmetszés: hatos átmetszés (6 egyenlet).

Tengely (lokális x) → $N = R_t$ (húzás +), $T = M_t$ (kifelé mutató +); a másik két globális tengely → $V, V$ és $M, M$ (hajlító). A megelőző rész keresztmetszetén a pozitív komponens a +tengely felé mutat, a követőén a −tengely felé. Egyenes rúd végén ható erő nem csavar (metszi a tengelyt).