8Modul

Statikai határozottság

Eddig minden tartónk „jól” volt megtámasztva: a három egyenletből három ismeretlen egyértelműen kijött. Ebben a modulban megtanulod, mikor van ez így, mikor nincs — és mikor csal a számlálás: három párhuzamos görgő is 3 = 3-at ad, a gerenda mégis kicsúszik. Építesz, számolsz, játszol.

Az egyenletrendszer megoldhatósága
A feladat és a tartó határozottsága
Számlálás: e és i, rácsos tartón 2c = r + k
Kritikus elrendezések — a szükséges, de nem elégséges feltétel
Összetett és rácsos szerkezetek, lefejtés
Határozatlan tartó: törzstartó és a merevség

Elmélet Kidolgozott feladatok Kalkulátorok Gyakorlás

1. rész

Elmélet

A kérdés egyszerű: az egyensúlyi kijelentés alapján felírt egyenletrendszerből kijönnek-e az ismeretlen reakciók? A válasz háromféle lehet, és nem mindegy, hogy egy adott teherre vagy bármilyen teherre kérdezzük.

8.1 Az egyensúlyi egyenletrendszer megoldhatósága

A szerkezetek viselkedése alapvetően a támaszaik fokszámától és elrendezésétől függ. Eddig olyan tartókkal dolgoztunk, ahol a támaszok összfokszáma három volt, és az elrendezésük olyan, hogy az egyensúlyi kijelentés bármilyen teher esetén teljesült. Most ezt általánosítjuk tetszőleges számú testre — és megnézzük, mi van, ha nem teljesül.

Vetületi egyenletet végtelen sok irányban, nyomatéki egyenletet végtelen sok pontra írhatunk — de nem mind független. Egy ferde irányú vetületi egyenlet két másik lineáris kombinációja: az 1:1 meredekségű $t$ tengelyre például

A tankönyv (7.1) egyenlete: a ferde vetület nem hoz új információt

\sum F_{it} = \tfrac{\sqrt2}{2}\sum F_{ix} + \tfrac{\sqrt2}{2}\sum F_{iy}

\text{lineárisan független egyenletek: a maximális halmaz, amelyben egyik sem a többi kombinációja}

2 egyenlet

Közös metszéspontú, síkban

Két vetületi egyenlet; a metszésponton átmenő tengelyre írt nyomatéki egyenlet azonosság. Ez jár egy rácsos tartó csomópontjának.

2 egyenlet

Párhuzamos, síkban

Az erők irányába mutató vetületi + egy nyomatéki; vagy két nyomatéki olyan pontokra, amelyek összekötője nem párhuzamos az erőkkel.

3 egyenlet

Szétszórt, síkban

Két vetületi + egy nyomatéki, vagy három nyomatéki nem egy egyenesre eső pontokra. Ez jár egy merev testnek.

3 / 6 egyenlet

Térben

Közös metszéspontú térbeli: 3 vetületi. Szétszórt térbeli: 3 vetületi + 3 nyomatéki merőleges tengelyekre.

8.2 A feladat statikai határozottsága

Egy $(\underline F_1, \underline F_2, \underline F_3, \underline A, \underline B) \ekv \underline O$ alakú egyensúlyi kijelentés (vagy egy $(\underline F_1, \ldots) \ekv \underline R$ egyenértékűségi kijelentés) egyenletrendszerének megoldása háromféle lehet. A teljes elkülönítés után csak az egyes testek kijelentéseivel kell foglalkozni: az összevont kijelentések nem adnak új független egyenletet — ha minden test egyensúlyban van, az egész is.

van, egyértelmű

Határozott feladat

Az egyenletrendszernek van megoldása, és az egyértelmű. A legfontosabb eset — eddig csak ilyet oldottunk meg.

nincs

Túlhatározott feladat

Ellentmondásra jutunk: nem a feltételezett jellegű az eredő, vagy nem biztosítható az egyensúly.

van, nem egyértelmű

Határozatlan feladat

A megoldás egy vagy több szabad paraméter függvényében adható meg — a választástól függően más eredményt kapunk.

1. ábraUgyanaz a teher, más támaszok — a tankönyv 7.1.a, 7.2.a és 7.3.a ábrája: határozott, határozatlan és túlhatározott feladat.

„Nincs egyértelmű megoldás” — nem jó jellemzésHincz–Németh 7.2

A tankönyv lábjegyzete: a „nincs egyértelmű megoldás” kifejezés nem árulja el, hogy nem egyértelmű megoldás létezik-e — csak annyit jelent, hogy a feladat nem határozott. Mondjuk ki, melyik: túlhatározott (nincs megoldás) vagy határozatlan (van, de nem egyértelmű). Terheletlen tartón a zérus reakció a határozatlan feladatnak is megoldása — de nem az egyetlen: $A_x$ és a vele ellentett $B_x$ bármekkora lehet (7.2.c ábra), ez a sajátfeszültségi állapot.

8.3 A tartó statikai határozottsága

A szerkezetről akkor mondunk ítéletet, ha tetszőleges teherre nézzük: biztosítható-e az egyensúly, és egyértelmű-e a megoldás. Két feltétel, négy eset:

2. ábraA négy kategória: a két bal oldali tartó, a két jobb oldali nem — a jobb alsó mutatja, hogy a számlálás (3 = 3) önmagában nem dönt.

A négy kategória (tankönyv 7.3)

Statikailag határozott: bármilyen teherre egyensúlyban marad, és a reakciók egyértelműen meghatározhatók.
Statikailag túlhatározott: létezik teher, amelyre nincs egyensúly; ha van, a megoldás egyértelmű. Mechanizmus — nem tartó.
Statikailag határozatlan: bármilyen teherre van megoldás, de sosem egyértelmű. Tartó — a reakciókhoz a merevség is kell.
Határozatlan és túlhatározott: létezik teher, amire nincs egyensúly, és ha van, az sem egyértelmű. Nem tartó — a kritikus elrendezések ide tartoznak.

Csak a határozott és a határozatlan szerkezetet nevezzük tartószerkezetnek. A határozatlanság fokszáma: hány paraméter rögzítésével lesz egyértelmű a megoldás; a túlhatározottság fokszáma: hány független egyenletnél juthatunk ellentmondásra.

A határozatlan tartókat az építőmérnöki gyakorlat szereti: egy kényszer tönkremenetele után is tartó maradhat. Hátrányuk, hogy kinematikai teherre — hőmérsékletváltozás, gyártási méretpontatlanság, támaszsüllyedés — is reakciók és igénybevételek keletkeznek bennük; a határozott tartó ilyenkor egyszerűen „követi” a mozgást.

8.4 Számlálás: egyenletek és ismeretlenek

Előkészítő lépés: hasonlítsuk össze a felírható független egyenletek számát ( $e$ ) a független reakciókomponensek számával ( $i$ ). Síkban minden test hárommal növeli $e$ -t; egy görgő vagy rúd eggyel, egy csukló kettővel, egy befogás hárommal növeli $i$ -t; egy belső csukló két test között kettővel (a kapcsolati erőt csak egyszer vesszük figyelembe — ha külön elkülönítjük a csuklót, két egyenlet és testenként két ismeretlen jár hozzá).

A számlálás síkban és rácsos tartón

e = 3\cdot\text{testek},\qquad i = \textstyle\sum\text{külső fokszám} + \sum\text{belső fokszám};\qquad \text{rácsos: } e = 2c,\ i = r + k

\text{térben: } e = 6\cdot\text{testek},\quad \text{térbeli rácsos: } e = 3c

Az elsődleges következtetés — szükséges, de nem elégséges

$e = i$ : lehetséges, hogy egyértelmű a megoldás — de nem biztos. A határozottság szükséges, de nem elégséges feltétele.
$e > i$ : az ismeretlenek meghatározása után marad egyenlet, amivel ellentmondásra juthatunk: a túlhatározottság elégséges, de nem szükséges feltétele — legalább $e - i$ szabad mozgás.
$e < i$ : biztosan marad szabad paraméter: a határozatlanság elégséges, de nem szükséges feltétele — legalább $i - e$ fölös kényszer.

Az $i - e$ különbség mindig csak a fölös kényszerek és a szabad mozgások számának különbsége: egyidejűleg határozatlan és túlhatározott szerkezet bármilyen $e, i$ viszony mellett előfordulhat.

A számlálás után jön a döntés. A matematikai út az egyenletrendszer rangvizsgálata lenne; a tankönyv három kézzelfogható módszert ad: (1) ha egyetlen teherre egyértelmű megoldást találunk, az $e = i$ -vel együtt bizonyítja a határozottságot; (2) tervezzük meg a reakciók számítási sorrendjét úgy, hogy mindig csak egyismeretlenes egyenlet jöjjön (a már kiszámolt reakciókat ismertnek véve) — ha ilyen menetrend létezik, a szerkezet határozott; (3) lefejtés: a csuklóval és görgővel megtámasztott befüggesztett részt, vagy a két-két-két fokú kényszerrel kapcsolt két testet levéve az egyszerűbb maradékot vizsgáljuk.

A G mátrix — egy év múlva olvasd el újraHincz–Németh 7.3.1, 3. lábjegyzet

Az ismeretlenek együtthatóit egy $\mathbf G$ mátrixba gyűjtve $\mathbf G\,\mathbf r = \mathbf b$ alakot kapunk: a sorok az egyenletek, az oszlopok az ismeretlenek. Bármely teherre akkor van egyértelmű megoldás, ha $\mathbf G$ nem szinguláris. A szerkezet-építő pontosan ezt számolja: a kényszermátrix rangját — a nulltér egy vektora maga a mechanizmus mozgása, amit az animációban látsz.

Próbáld ki – építs tartót támaszokból, és nézd, áll-e

próbateher: 10 kN lefelé + 4 kN vízszintesen

Kattints egy támaszra a váltáshoz (görgő → csukló → befogás → rúd → üres) és a szaggatott körökre belső csuklóért. A támaszok maradnak, a testek mozognak — ha tudnak.

egyenletek · e

1 test × 3: 3

ismeretlenek · i

csukló: 2 · görgő: 1

Statikailag határozott tartó ✓

Statikailag határozott tartó ✓ — a rang teljes (rang = 3): minden mozgás gátolt, egyetlen kényszer sem fölös. A próbateher reakciói egyértelműek (lila nyilak), a számítómag ellenőrzése: ΣF = 0, ΣM = 0 ✓

a próbateher reakciói [kN, kNm]

A (csukló): Fx = -4,00, Fy = 6,25
B (görgő): R = 3,75

8.5 Egyszerű szerkezetek — a tankönyv példatára

Egyetlen testből álló szerkezetnél az osztályozás mindig könnyen elvégezhető. A határozott egyszerű tartókon az összfokszám három, és mindegyikre létezik egyismeretlenes menetrend: kéttámaszú tartón a csuklóra és a görgőre írt nyomatéki egyenlet + vízszintes vetület; három görgőn a hatásvonalak páronkénti metszéspontjaira írt nyomatékiak; befogásnál két vetületi + nyomatéki a befogás pontjára; három rúdon a páronkénti metszéspontok (főpontok).

3. ábraStatikailag határozott egyszerű tartók a tankönyv 7.4. ábrája nyomán: a) kéttámaszú gerenda, b) három görgő (egy ferde), c) csukló + görgő tört testen, d) befogott konzol, e) három rúd.

4. ábraTúlhatározott egyszerű szerkezetek (7.5. ábra): az összfokszám 2 vagy 1, a bordó nyíl a szabadon létrejövő mozgás. Az e − i különbség a szabad mozgások száma.

Túlhatározott szerkezeten mindig találunk egyenletet, amelyben nem szerepel reakció: az egy csuklóra írt nyomatéki, a két görgő vízszintes vetületi egyenlete. Létezhet teher, amire nincs egyensúly — de ha a teher olyan, hogy ez az egyenlet teljesül, a maradék reakciók egyértelműek.

5. ábraHatározatlan egyszerű tartók (7.6. ábra): összfokszám 4 vagy 5, a + jel a fölös kényszer, amelyet elvéve határozott tartót kapunk vissza.

Hogy egy határozatlan szerkezet nem egyszerre túlhatározott is, azt úgy bizonyítjuk, hogy megtaláljuk a fölös kényszereket: elvételükkel egy 7.4-es határozott tartót kapunk. A háromtámaszú gerendán a középső görgő; a két csuklósnál az egyik csukló görgővé alakítása; a befogott + két görgősnél két kényszer (a két görgő, vagy a középső görgő és az elfordulási kényszer).

6. ábraHatározatlan és túlhatározott szerkezetek (7.7. ábra): a számlálás jó vagy majdnem jó, az elrendezés mégis hibás. Zárójelben a tankönyvben: e − i = szabad mozgások − fölös kényszerek.

A kritikus elrendezések felismerése

Három (vagy több) párhuzamos hatásvonal egy testen: ha kettőt ki akarunk zárni, a merőleges vetületi egyenletben a harmadik sem szerepel — a test a merőleges irányban eltolódhat (7.7.a, b).
Egy ponton átmenő három hatásvonal (három rúd, vagy görgő a csuklón át): a pontra írt nyomatéki egyenletben nincs ismeretlen — a test a pont körül elfordul (7.7.d).
Közös hatásvonalú két reakció: két mozgás szabad, egy kényszer fölös (7.7.c).
A számláló ezekből semmit sem lát: $e - i$ csak a különbséget adja. Ezért kell a geometriai ellenőrzés — vagy a menetrend, amely ilyenkor elakad.

Próbáld ki – forgasd a rudakat, és keresd meg, mikor csúszik ki a gerenda

1. rúd hajlása a függőlegestől-35,0 °2. rúd hajlása a függőlegestől0,0 °3. rúd hajlása a függőlegestől20,0 °

egyenletek · e

ismeretlenek · i

Statikailag határozott tartó ✓

elrendezés-mérő · |det G|0,111

a három hatásvonal páronként különböző pontokban metszi egymást — az elrendezés jó.

rúderők a próbateherre (10 kN ↓, 3 kN →)

S₁ = 2,96, S₂ = -8,85, S₃ = -3,80 kN

8.6 Összetett szerkezetek

A 6. modul példái mind határozottak voltak: az egyenletek és ismeretlenek száma egyezett, és mindig találtunk egyenlet-sorozatot, amiből a reakciók egyértelműen kijöttek. Gerber-tartónál a számítás egyszerű tartók egymás utáni megoldása — ezért a befüggesztett és a fix rész határozottságát egyszerű tartóként vizsgáljuk. A háromcsuklós tartónál a külső csuklókon átmenő és arra merőleges reakciókomponenseket a teljes szerkezet nyomatéki egyenleteiből mindig ki tudjuk számolni; utána a testek egyszerű tartóként számíthatók — ha a még ismeretlen külső reakció hatásvonala nem megy át a belső csuklón. Ez azt jelenti: a háromcsuklós tartó akkor határozott, ha a három csukló nem esik egy egyenesbe.

7. ábraHatározatlan és túlhatározott összetett szerkezetek (7.8. ábra): a) egy egyenesbe eső három csukló — a szaggatott vonalra merőleges terhet nem tudja megtartani; b) a két oszlopot összekötő rudak párhuzamosak a külső csuklók egyenesével — vízszintes teherre elborul.

A tankönyv receptje összetett szerkezetre (7.3.2.2)

Elkülönítés, az egyenletek és ismeretlenek kigyűjtése az egyensúlyi kijelentésekből → elsődleges következtetés (mi lehet, mi biztosan nem).
Az egyenletek felírása nélkül tervezzük meg, hogyan számolnánk a reakciókat: ha egymás után találunk egyenleteket, amelyekben mindig csak egy új ismeretlen szerepelne nemzérus együtthatóval, a szerkezet határozott.
Rövidítés — lefejtés: a csuklóval és görgővel megtámasztott befüggesztett rész levehető; két, egymáshoz csuklósan kapcsolt test, amelyek egy-egy csuklóval kapcsolódnak máshoz, szintén — ha a három csukló nem esik egy egyenesbe.

8.7 Rácsos tartók statikai határozottsága

Rácsos tartón a számok a topológiából kiolvashatók: minden csomópontban közös metszéspontú erőrendszer — két egyenlet, $e = 2c$ ; az ismeretlenek a rudak száma és a külső kényszerfokok: $i = r + k$ . A döntéshez a rács felépítését nézzük: ha háromszögek egymás mellé illesztésével — mindig egy új csuklót két új rúddal kötve be — merev testeket kapunk, akkor a merev testekből álló (esetleg összetett) szerkezet határozottságát vizsgáljuk. Visszafelé is: egy csukló, amelyre csak két nem párhuzamos ismeretlen rúderő hat, a két rúddal együtt kivehető (mint egy háromcsuklós tartó), a határozottság nem változik. Ha a két rúd egy egyenesbe esik, a rájuk merőleges vetületi egyenletben nem lesz ismeretlen — ezért nem vesszük ki a vakrudakat.

Rácsos tartó (síkban; térben 3c)

2c = r + k\ \text{(szükséges, nem elégséges)},\qquad 2c < r + k\ \text{(határozatlan)},\qquad 2c > r + k\ \text{(túlhatározott)}

8. ábraA tankönyv 7.9. ábrája (határozott) és a 7.10. ábra változatai: a, b túlhatározott; c határozatlan; e, f határozatlan és túlhatározott — pedig 2c = r + k.

Próbáld ki – kapcsold ki-be a rudakat, nézd a mérleget és a mezőt

Kattints egy rúdra az elvételéhez, egy szaggatott szellemre a hozzáadásához, a támaszra a csukló/görgő váltáshoz.

egyenletek · e

2 · c = 2 · 6: 12

ismeretlenek · i

r = 9 rúd: 9 · k = 3 kényszerfok: 3

Statikailag határozott tartó ✓

2c = r + k, és a rang teljes. Háromszögekből építhető, egy csukló és egy görgő tartja: minden rúderő egyértelmű bármilyen csomóponti teherre.

8.8 Következtetések: a feladat és a tartó, határozottá tétel

A szerkezet jellemzéséből megjósolható, milyen lehet rajta egy feladat (tankönyv 7.4.1):

a szerkezet…	határozott feladat	határozatlan feladat	túlhatározott feladat
határozott tartó	mindig	sosem	sosem
határozatlan tartó	sosem	mindig	sosem
túlhatározott szerkezet	lehet	sosem	lehet
határozatlan és túlhatározott	sosem	lehet	lehet

Visszafelé óvatosan: egy határozott feladat határozott vagy túlhatározott szerkezetre utalhat; egy túlhatározott feladat túlhatározott vagy határozatlan és túlhatározott szerkezetre; egy határozatlan feladat határozatlan vagy határozatlan és túlhatározott szerkezetre.

Határozottá tétel (7.4.2): a későbbi tanulmányokban egy határozatlan tartót határozottá kell tennünk — az elvett támaszok elmozdulásával számoljuk majd a tényleges reakciókat. Cél: $e = i$ úgy, hogy a kapott tartó valóban határozott legyen; ha a kiindulás nem túlhatározott, $i - e$ fölös kényszer elvételével.

Ökölszabályok az elvehető kényszerekre

egy testre ható három vagy több, egymással párhuzamos külső reakcióból legfeljebb kettőt kell megtartani;
egy testre ható három vagy több, közös metszéspontú külső reakcióból legfeljebb kettőt kell megtartani;
ha a testre ismeretlen külső nyomaték is hat, az ugyanarra a testre ható két vagy több párhuzamos reakcióból legfeljebb egyet;
ha a testre ható ismeretlen erők közül egy kivételével az összes párhuzamos, akkor az egy kivételt ne vegyük el.

8.9 A határozatlan tartó reakciói — miért kell a merevség

Határozatlan tartón minden feladat határozatlan: az egyensúlyi egyenletrendszernek van megoldása, de a határozatlanság fokától függően egy vagy több szabad paraméter függvényében. A paramétert egy vagy több fölös kényszer megszüntetésével és az ott ébredő ismeretlen reakció paraméteres teherként való működtetésével vezetjük be. A megmaradó tartó — a törzstartó — statikailag határozott kell legyen.

9. ábraHatározatlan tartó határozottá tétele a tankönyv 7.11–7.12. ábrája nyomán: a) háromtámaszú tartó; b) görgő elvéve; c) a csukló ferde görgővé alakítva; d) belső csukló — a paraméter a hajlítónyomaték; e) befogás + görgő.

Melyik $B$ az igazi? Amelyiknél a tartó alakváltozása illeszkedik mindhárom támaszhoz: a törzstartó lehajlása a $B$ pontban a teherből és a paraméteres $B$ erőből együtt éppen nulla. Ez már a Szilárdságtan — de a következmény itt is látszik: a reakciók a tartó merevségétől függenek (a GYF‑7-ben egységnyi merevséggel $B = 8{,}25$ , négyszer merevebb jobb mezővel $9{,}60$ kN), és kinematikai teherre is ébrednek. Többszörösen határozatlan tartón annyi kényszert szüntetünk meg, hogy határozott legyen — például a 7.13. ábra tartóján a $B$ és $C$ , vagy a $B$ és $D$ görgőt.

A belső csukló paramétereHincz–Németh 7.5, 5. lábjegyzet

Belső kényszer felszabadításakor a paraméterként felvett reakciót mindkét testre működtetni kell: a belső csukló miatt egy-egy ellenkező irányba forgató nyomatékot a csukló két oldalán lévő testre. A következő fejezet után már tudni fogjuk: ezek a nyomatékok a felszabadított keresztmetszet hajlítónyomatékának felelnek meg.

Itt és a gyakorlaton	A tankönyvben	Megjegyzés
mechanizmus, labilis szerkezet	statikailag túlhatározott szerkezet	Létezik teher, amire nincs egyensúly; nem tartó.
kritikus (degenerált) elrendezés	statikailag határozatlan és túlhatározott szerkezet	Szabad mozgás ÉS fölös kényszer egyszerre; gyakran e = i.
e, i	független egyenletek száma, független reakciókomponensek száma	e = 3·testek (síkban); rácsos: e = 2c, i = r + k.
a határozatlanság foka	a határozatlanság fokszáma	Hány paraméter rögzítésével lesz egyértelmű a megoldás.
törzstartó, alapszerkezet	törzstartó	A fölös kényszerek elvétele után maradó határozott tartó.
sajátfeszültség	sajátfeszültségi állapot	Terheletlen határozatlan szerkezetben nem zérus reakciók / belső erők.
kinematikai teher	kinematikai teher	Hőmérséklet, gyártási hiba, támaszsüllyedés — határozatlan tartón reakciót ébreszt.

A leggyakoribb hibák — és hogyan kerüld el őket

3 = 3, tehát határozott. Nem: nézd meg a hatásvonalakat (párhuzamos? egy ponton át? csuklón át?) és a csuklókat (egy egyenesen?). A menetrend elakadása árulkodik.
A belső csukló ismeretlenjei duplán. Két test között 2 (nem 4): a kapcsolati erők egymás ellentettjei.
e > i = „határozatlan”. Fordítva: e > i kevés kényszer → mozog; i > e sok kényszer → határozatlan.
Aₓ + Bₓ = 0 ⇒ mindkettő nulla. Ez határozatlan feladat, a paraméter nem nulla „alapból”.
Törzstartó vízszintes görgővel a csukló helyén. Három párhuzamos görgő marad: kritikus. Ferde görgő vagy más kényszer elvétele.

2. rész

Kidolgozott feladatok

Minden feladat ugyanazt az utat járja: testek → külső kényszerek → belső kényszerek → mérleg (e, i) → geometriai ellenőrzés (menetrend, lefejtés, kritikus elrendezés) → ítélet. Ahol lehet, számokkal is: egy teherre egyértelmű megoldás a határozottság bizonyítéka.

GYF‑1

Három görgő a gerendán — ugyanaz a számlálás, két különböző ítélet

⏱ 5 percTankönyv 7.4.b és 7.7.a ábra

Feladat

Egy $6\ \text{m}$ hosszú gerendát három görgő támaszt: $A$ a bal végen, $B$ a közepén, $C$ a jobb végen. a) Az $A$ görgő $45^\circ$ -os ferde síkon gördül, $B$ és $C$ vízszintes síkon. b) Mindhárom görgő vízszintes síkon gördül. Döntsd el mindkét szerkezetről, tartó-e, és ha igen, milyen! Próbateher: $F = 10\ \text{kN}$ lefelé $x = 4{,}5\ \text{m}$ -nél és $H = 2\ \text{kN}$ balra a gerenda tengelyében.

a) A ferde görgő reakciója 45°-os; b) mindhárom reakció függőleges. A számlálás mindkét esetben 3 = 3 — az ítélet mégis különbözik.

Megoldás

0 / 5 lépés

Előbb próbáld meg magad! Ha elakadtál, tárd fel a megoldást lépésenként.

Ugyanez filmen – a támaszok bejönnek, a számláló nő, a végén kicsúszik

FilmGYF‑1 · Három görgő — a számlálás és a geometria8 fejezet · 29 s

A támaszok a helyükön maradnak, a test mozog. A számláló-doboz jobbra fent: a szín az ítéletet mutatja, nem csak a számokat — a végén 3 = 3 mellett is piros.

GYF‑2

Elkülönítés, egyensúlyi kijelentések, egyenlet- és ismeretlenszám — két rudas-csuklós szerkezet

⏱ 7 percH04 szintemelő, 5. feladat

Feladat

Készítsd el a szerkezetek elkülönítését, írd fel az egyensúlyi kijelentéseket, majd határozd meg a felírható egyenletek és az ismeretlenek számát! a) Alul befogott oszlop, tetején csuklóval kapcsolt ferde gerenda, amelyet egy támasztórúd köt az oszlop közepéhez; a gerenda végén $F$ . b) Alul csuklós oszlop, tetején csuklóval kapcsolt gerenda, amelynek másik végét görgő tartja; a gerendát rúd köti az oszlophoz; a gerendán ferde $F$ . Számokhoz: $a = 1{,}5\ \text{m}$ (az oszlop $2a$ magas), $F = 10\ \text{kN}$ .

A H04/5 két szerkezete. A rúd két végén csuklós és terheletlen: egyetlen ismeretlent hoz (S). A csukló két kapcsolati erőt (Tₓ, Tᵧ), a befogás hármat, a görgő egyet.

Megoldás

0 / 5 lépés

Előbb próbáld meg magad! Ha elakadtál, tárd fel a megoldást lépésenként.

GYF‑3

Gerber-tartó — hol lehet a két csukló?

⏱ 6 percTankönyv 7.3.2.2 (Gerber-tartó) nyomán

Feladat

Egy $12\ \text{m}$ hosszú gerendát az $A$ csukló ( $x = 0$ ) és a $B, C, D$ görgők ( $x = 4, 8, 12\ \text{m}$ ) támasztanak. a) Két belső csukló van, $G_1$ a 6 m, $G_2$ a 10 m helyen. b) Mindkét csukló az első mezőben van: $G_1 = 1{,}5$ , $G_2 = 3\ \text{m}$ . Vizsgáld meg a határozottságot, és a) esetben számítsd ki a reakciókat $F_1 = 12\ \text{kN}$ ( $x = 2$ ) és $F_2 = 6\ \text{kN}$ ( $x = 11$ ) teherre!

a) A csuklók a 2. és 3. mezőben: minden rész lefejthető. b) A csuklók az 1. mezőben: A, G₁, G₂ egy egyenesbe esik.

Megoldás

0 / 5 lépés

Előbb próbáld meg magad! Ha elakadtál, tárd fel a megoldást lépésenként.

Ugyanez filmen – támaszok, csuklók, lefejtés, aztán a csuklók rossz helyre kerülnek

FilmGYF‑3 · Gerber-tartó — támaszok, csuklók, lefejtés, összecsuklás7 fejezet · 31 s

A csuklók helye dönt: a 2. és 3. mezőben határozott Gerber-tartó, az 1. mezőben egy egyenesbe eső három csukló — mechanizmus. A számláló mindkét esetben 9 = 9.

GYF‑4

Keretek — háromcsuklós, kétcsuklós, befogott, négycsuklós

⏱ 6 percTankönyv 7.3.2.2 (háromcsuklós tartó) nyomán

Feladat

Egy $6\ \text{m}$ fesztávú, $4\ \text{m}$ magas keret négy változata: a) $A, B$ csukló, belső csukló a gerenda közepén ( $C$ ); b) $A, B$ csukló, belső csukló nélkül; c) $A, B$ befogás; d) $A, B$ csukló és belső csukló mindkét sarokban. Osztályozd mind a négyet! Az a) esetben számítsd ki a reakciókat $F = 10\ \text{kN}$ (lefelé, $x = 1{,}5\ \text{m}$ ) és $H = 6\ \text{kN}$ (jobbra, a bal saroknál) teherre!

Négy keret, négy ítélet. A belső csukló mindig +3 egyenletet és +2 ismeretlent hoz — az egyenleg 1-gyel csökken.

Megoldás

0 / 5 lépés

Előbb próbáld meg magad! Ha elakadtál, tárd fel a megoldást lépésenként.

GYF‑5

Rácsos tartók: 2c = r + k — és amikor ez sem elég

⏱ 6 percTankönyv 7.9 és 7.10. ábra

Feladat

A tankönyv 7.9. ábrájának kétmezős rácsos tartója (6 csomópont, 9 rúd, csukló + görgő) és a 7.10. ábra változatai: a) az egyik átló hiányzik; b) a csukló helyett görgő; c) az egyik mezőben két átló (X); e) X-rács két görgőn; f) a jobb mező átlója helyett a bal mezőben második átló. Számold meg mindegyiken $c, r, k$ -t, és döntsd el, tartó-e!

A tankönyv 7.9 és 7.10. ábrájának rácsai a számlálással: zöld = határozott, lila = határozatlan, bordó = mozog.

Megoldás

0 / 5 lépés

Előbb próbáld meg magad! Ha elakadtál, tárd fel a megoldást lépésenként.

Ugyanez filmen – a rudak egyenként bejönnek, egy rúd elvéve elferdül a mező

FilmGYF‑5 · Rácsos tartó — r + k = 2c élőben6 fejezet · 30 s

A bal felső sarokban a három szám (c, r, k), jobbra a mérleg. A ferdülő mező alakját a kinematikai rangvizsgálat nulltere adja — ugyanaz a számítás, amit a Rácsos tartó ellenőrző használ.

GYF‑6

Három rúd egy ponton át — az egyenlet, amiben nincs ismeretlen

⏱ 5 percTankönyv 7.7.d ábra

Feladat

Egy $4\ \text{m}$ hosszú gerendát (a talaj fölött 2 m-rel) három rúd tart: az 1. függőleges a bal végből, a 2. és a 3. ferde; mindhárom hatásvonala az $A = (0;\,0)$ talajponton megy át. Teher: $F = 10\ \text{kN}$ lefelé $x = 3\ \text{m}$ -nél. a) Írd fel a számlálást és próbáld meg kiszámítani a rúderőket! b) Mi változik, ha a 3. rúd alsó végét a $D = (1;\,0)$ pontba tesszük?

a) Mindhárom rúd hatásvonala az A ponton megy át; b) a 3. rúd a D pontba vezet — a hatásvonalak páronként máshol metszik egymást.

Megoldás

0 / 4 lépés

Előbb próbáld meg magad! Ha elakadtál, tárd fel a megoldást lépésenként.

GYF‑7

Háromtámaszú tartó — a határozatlan feladat egy szabad paraméterrel

⏱ 6 percTankönyv 7.5 és 7.11. ábra

Feladat

Egy $8\ \text{m}$ hosszú gerendát az $A$ csukló ( $x = 0$ ), a $B$ görgő ( $x = 4$ ) és a $C$ görgő ( $x = 8\ \text{m}$ ) támaszt; teher $F = 12\ \text{kN}$ lefelé $x = 2\ \text{m}$ -nél. Mutasd meg, hogy a reakciók az egyensúlyi egyenletekből nem egyértelműek, add meg őket $B$ függvényében, sorold fel a lehetséges törzstartókat — és mondd meg, mi dönti el a tényleges értéket!

Egyszeresen határozatlan folytatólagos tartó. A lila nyilak az egységnyi merevséggel számolt reakciók: A_y = 4,875, B = 8,250, C = −1,125 kN (C lefelé!).

Megoldás

0 / 5 lépés

Előbb próbáld meg magad! Ha elakadtál, tárd fel a megoldást lépésenként.

3. rész

Kalkulátorok

A számláló a tankönyv 7.3.1 szerinti elsődleges ítéletet adja levezetéssel; a keret-építő és a rácsos ellenőrző a geometriát is eldönti — rangvizsgálattal.

Határozottság-számláló — testek, kényszerek, rácsos tartó

Add meg a testek számát, a külső kényszereket és a belső kapcsolatokat (vagy rácsos üzemmódban $c, r, k$ -t): a program kiírja $e$ -t és $i$ -t, az elsődleges következtetést, a határozatlanság fokát és a törzstartó-ökölszabályokat. Alaphelyzetben egy háromcsuklós tartó: 6 = 6.

térbeli szerkezet (6 egyenlet / test)

Merev testek száma×3 egyenlet

külső kényszerek

Görgő (1)

Támasztórúd (1)

Csukló (2)

Befogás (3)

belső kapcsolatok

Belső csukló, 2 testet kapcsol (2)

Belső csukló, 3 testet kapcsol (4)

Belső rúd (1)

Terhelt belső csukló (+2 egyenlet, +2 ismeretlen)

egyenletek · e

3·2 test: 6

ismeretlenek · i

külső: 3 · belső: 2

Mechanizmus: 1 szabad mozgás (túlhatározott)

levezetés

e = 3\cdot 2 = 6

i = \underbrace{1\cdot 1 + 0\cdot 1 + 1\cdot 2 + 0\cdot 3}_{\text{külső} = 3} + \underbrace{1\cdot 2 + 0\cdot 4 + 0\cdot 1}_{\text{belső} = 2} = 5

Elsődleges következtetés (7.3.1): e > i: legalább 1 szabad mozgás — a szerkezet biztosan nem tartó (túlhatározott, mechanizmus).

Legalább 1 szabad mozgás: a szerkezet túlhatározott (mechanizmus), létezik teher, amelyre nincs egyensúly. Legalább 1 fokszámú kényszer hiányzik — de a helye is számít.

fokszám-emlékeztető

görgő 1 · támasztórúd 1 · csukló 2 · befogás 3 · belső csukló $2\,(n-1)$ (n test) · belső rúd 1 · térben: csukló 3, befogás 6, rúd 1; testenként 6 egyenlet, rácsos tartón $3c$ .

Keret-építő — támaszok és sarokcsuklók

Ugyanaz az építő, mint az elméletben, kerettel: háromcsuklós, kétcsuklós, befogott, négycsuklós — és a falgörgő. A számítómag a próbateher reakcióit is kiírja, ha a szerkezet áll.

próbateher: 10 kN lefelé + 5 kN vízszintesen

Kattints egy támaszra a váltáshoz (görgő → csukló → befogás → rúd → üres) és a szaggatott körökre belső csuklóért. A támaszok maradnak, a testek mozognak — ha tudnak.

egyenletek · e

2 test × 3: 6

ismeretlenek · i

csukló: 2 · csukló: 2 · 1 belső csukló: 2

Statikailag határozott tartó ✓

Statikailag határozott tartó ✓ — a rang teljes (rang = 6): minden mozgás gátolt, egyetlen kényszer sem fölös. A próbateher reakciói egyértelműek (lila nyilak), a számítómag ellenőrzése: ΣF = 0, ΣM = 0 ✓

a próbateher reakciói [kN, kNm]

A (csukló): Fx = -0,62, Fy = 4,17
B (csukló): Fx = -4,37, Fy = 5,83

4. rész

Gyakorlás

Előbb a játék — időre, kritikus elrendezésekkel —, aztán a fogalmi kvíz, a hibakereső és a számolós generátorok.

Előbb játssz – stabil vagy mozog?

Játék

Stabil vagy mozog?

1 / 5. kör0 pont

Öt kör, körönként két véletlen szerkezet: gerendák, keretek, Gerber-tartók, három rúd, egy egyenesbe eső csuklók. Időre, a kritikus elrendezésekkel együtt.

25 s

Az ötlet – fogalmi kvíz

KvízÉrted, vagy csak számolod?

Tizennégy kérdés a feladat és a tartó határozottságáról, a számlálásról és a kritikus elrendezésekről.

Kérdések betöltése…

Hibakereső – találd meg a hibát

Hibakereső3 = 3, tehát határozott?1 / 6

Az alábbi megoldás egy helyen hibás. Kattints arra a lépésre, ahol a hiba van!

Egy gerendát három vízszintes síkon gördülő görgő támaszt; teher: ferde erő. Döntsd el, tartó-e!

Számolós gyakorlás

További feladattípusok

Mikor mehetsz tovább

Akkor vagy kész ezzel a modullal, ha egy rajzról fél perc alatt megmondod az egyenletek és az ismeretlenek számát, tudod, hogy ez csak szükséges feltétel, és ránézésre kiszúrod a kritikus elrendezéseket: párhuzamos vagy egy ponton átmenő hatásvonalak, egy egyenesbe eső csuklók. A következő modul a határozott tartók belsejébe néz: igénybevételi ábrák — normálerő, nyíróerő, hajlítónyomaték a tartó hossza mentén. A belső csukló ott is visszatér: ahol csukló van, a hajlítónyomaték nulla.