6Modul

Összetett tartók

Eddig egyetlen merev testet támasztottunk meg. Most több test kapcsolódik egymáshoz csuklóval vagy rúddal: ebben a modulban megtanulod, mit ad át egy belső csukló, hogyan szeded szét a szerkezetet testekre, és milyen sorrendben írod fel az egyenleteket, hogy mindegyikben egy ismeretlen legyen — Gerber-tartón, háromcsuklós tartón, terhelt csuklón és függesztőművön.

Belső kényszerek: csukló és rúd
Elkülönítés hatás–ellenhatással
Gerber-tartó: befüggesztett és fix rész
Háromcsuklós tartó és a tolóerő
Terhelt csukló, függesztőmű, feszítőmű
A fokszám-számlálás dobozként

Elmélet Kidolgozott feladatok Kalkulátorok Gyakorlás

1. rész

Elmélet

Az összetett tartó több merev test, amelyeket belső kényszerek kapcsolnak össze. A recept ugyanaz, mint az egyszerű tartónál — csak most a testeket egymástól is elkülönítjük, és a belső csuklóban ellentett erőpárt veszünk fel. A művészet a sorrend: mindig azzal a testtel kezdünk, amelyiknek három ismeretlene van.

6.1 Összetett szerkezet, külső és belső kényszer

A több, egymással összekapcsolt merev testből álló szerkezet összetett szerkezet; ha bármilyen elrendezésű terhet elvisel, összetett tartó. A testeket a földhöz külső kényszerek kötik — ezek pontosan az 5. modul görgői, rúdjai, csuklói és befogásai —, egymáshoz pedig belső kényszerek. A belső kényszer az összekapcsolt pontok egyes elmozdulás-komponenseit teszi azonossá a két testen, a többi különbözhet.

A belső kényszer fokszáma és a belső reakció

A belső kényszer fokszáma az azonosan tartott elmozdulás-komponensek száma. A belső kényszerben belső reakció ébred: azonos eltolódásoknál belső reakcióerő, azonos elfordulásoknál belső reakciónyomaték. A belső reakciók mindig párban lépnek fel, és Newton harmadik törvénye szerint egymás ellentettei.

Ebből következik az elkülönítés trükkje: az egyik testre felvesszük és elnevezzük a belső reakciót ( $C_x, C_y$ ), a másik testre pedig rögzítetten az ellentett irányban vesszük fel ( $C'_x, C'_y$ ). Így két ismeretlen helyett kettő van összesen, nem négy — a vessző csak azt jelzi, hogy a másik testre hat.

1. ábraA belső csukló és az elkülönítése a tankönyv 5.1. ábrája nyomán: az I. testre C_x, C_y, a II. testre az ellentettjük (C′_x, C′_y), azonos nagysággal.

A vessző jelentéseHincz–Németh 5.1.1

A tankönyv a másik testre ható belső reakciót $C'_x, C'_y$ -vel jelöli, és kimondja: „ezek nagysága számszerűen azonos az ellentettjükével”. A GYF-ekben ugyanezt írjuk: a csuklóerőt a befüggesztett (II.) testre nevezzük el, a fix (I.) testre $C' = -C$ hat. Terhelt csuklónál a tankönyv $C_I, C_{II}$ indexekkel különbözteti meg a két testre ható erőt — mert azok már nem ellentettek.

6.2 A belső csukló és a belső rúd

fokszám 2

Belső csukló

A két test pontjainak eltolódását teszi azonossá, egymáshoz képest elfordulhatnak — mint a csukló az alkar és a kézfej között. Jele egy kis kör. Elkülönítéskor két erőkomponenst ad át ( $C_x, C_y$ ), nyomatékot nem: a csuklóban a nyomaték nulla. Ez lesz a leghasznosabb egyenletünk.

fokszám 1

Belső rúd

Ugyanúgy viselkedik, mint a támasztórúd: a két csuklót összekötő hatásvonalú, húzottnak feltételezett $S$ erő, csak most a rúd mindkét végén a kapcsolódó testet húzza ( $S$ és $S'$ ). A rudat nem kell elkülöníteni: két erő hat rá, azok közös hatásvonalúak és ellentettek. Ez igaz töröttvonalú elemre is, ha csak két pontján kapcsolódik és más erő nem hat rá.

Nézd meg jól, mihez kapcsolódik a csukló!

Három hasonló rajz, három különböző szerkezet: a csukló kapcsolhatja az oszlopot a folytatólagos gerendához (két test), a jobb gerendát a bal gerenda + oszlop merev sarkához (két test), vagy megszakíthatja a gerendát úgy, hogy az oszlop is a csuklóhoz fut (három test — és a csuklót külön kell elkülöníteni, mert három erő hat rá). A csuklót akkor is külön elkülönítjük, ha közvetlenül koncentrált erő terheli.

2. ábraHová kapcsolódik a csukló? A tankönyv 5.2. ábrája nyomán: a), b) két test; c) három test és a külön elkülönítendő csukló; d) terhelt csukló.

Próbáld ki – szedd szét a szerkezetet a csuklónál

szétszedés0,00

Gerber-tartó

A II. test (C–D) csak egy görgővel támaszkodik a földre: befüggesztett rész. Elkülönítve C-ben két ismeretlen csuklóerő-komponenst kap, a D görgővel együtt hármat — pont mint egy kéttámaszú tartó. Az I. test a fix rész: a C-ben átadódó erő ellentettje terheli.

\text{I: } (\underline F_1, \underline A, \underline B, \underline C') \ekv \underline O

\text{II: } (\underline F_2, \underline D, \underline C) \ekv \underline O

\Sigma: (\underline F_1, \underline F_2, \underline A, \underline B, \underline D) \ekv \underline O

A belső csuklóerő (a számítómagból)

a II. testre

$C_x = 0{,}00$ , $C_y = 2{,}67$ kN

az I. testre

$C'_x = 0{,}00$ , $C'_y = -2{,}67$ kN

A két érték egymás ellentettje. Az egész szerkezetre írt egyenletekben ki is esnek — ezért érdemes velük kezdeni, ha a külső reakciót keressük.

Reakciók: Aₓ = -6,00, Aᵧ = 3,86, B = 9,20, D = 5,33 kN (negatív: a felvett iránnyal ellentétes — a rajzon már a tényleges irány látszik).

6.3 A reakciószámítás lépései összetett tartón

Az általános elv: egy összetett szerkezet csak akkor lehet egyensúlyban, ha minden alkotórésze egyensúlyban van. A recept az egyszerű tartókénak a testenkénti változata.

1. lépés

Elkülönítés

A testeket a földtől és egymástól is elválasztjuk; mindegyiket külön kirajzoljuk a terheivel, a külső és a belső reakciókkal. Kivétel: amire csak két erő hat (rúd).

2. lépés

Kijelentés testenként

Minden testre egyensúlyi kijelentés; szokás az összegüket, az egész szerkezet kijelentését is felírni — ebben a belső reakciók kiesnek.

3. lépés

Egyenletek — sorrendben

Egyismeretlenes egyenletek sorozata; néha egy korábbi eredményt is fel kell használni. Minden egyenletnél feltüntetjük, melyik kijelentésből jön.

4. lépés

Ellenőrzés

Egy nem használt egyenlet — az általánosság kedvéért egy eddig nem használt kijelentésből (pl. az egészre).

5. lépés

Eredményvázlat testenként

Minden testre külön, a rá ható tényleges reakcióerőkkel.

Három különböző ΣFᵢₓ egyenletHincz–Németh 5.2

A tankönyv lábjegyzete: egy két részre bontott tartón már három $\sum F_{ix}$ fejlécű, mégis különböző egyenlet írható fel — aszerint, hogy az egyik rész, a másik rész vagy a teljes szerkezet egyensúlyából számolunk. Ezért írjuk az egyenlet elé az I:, II:, Σ: jelet, például $\text{II:}\ \Mp{C}\ \ldots = 0$ .

Számold dobozként: hány ismeretlen, hány egyenlet?

Az egyenletválasztáshoz a tankönyv azt javasolja, hogy tartsuk számon: egy-egy kijelentésben hány ismeretlen skalár szerepel, hány független egyenlet írható belőle (merev testre 3, csuklóra ható közös metszéspontú erőrendszerre 2), és ezekből hányat használtunk már el. Összesen: $\text{ismeretlen} = \sum\text{külső fokszám} + \sum\text{belső fokszám}$ , $\text{egyenlet} = 3\cdot\text{testek} + 2\cdot\text{terhelt csuklók}$ . Ha a kettő egyenlő, a tartó statikailag határozott (feltéve, hogy az elrendezés nem degenerált — 7. fejezet).

3. ábraA fokszám-mérleg három tipikus szerkezetre: a belső csukló 2, a rúd 1 ismeretlent hoz; a testek 3-3 egyenletet, a rúdcsuklók 2-2-t.

Próbáld ki – melyik testtel, melyik pontra, milyen sorrendben?

0 / 6 ismeretlen kész

1. Melyik testre?

Vetületi egyenlet:

Válassz testet, aztán kattints egy pontra a rajzon (nyomatéki egyenlet arra a pontra) vagy válassz vetületi egyenletet. A program megszámolja, hány még ismeretlen mennyiség marad benne — csak az egyismeretlenes lépést fogadja el. A zárójelben a testekre még nyitott ismeretlenek száma.

Az eddigi lépések

Még nincs elfogadott egyenlet.

6.4 Gerber-tartó (tankönyv 5.3.1)

Gerber-tartónak nevezzük azt az összetett tartót, amelynek van legalább egy fix és egy befüggesztett része. A fix rész csupán a külső kényszereivel is tartóként viselkedik; a befüggesztett rész a külső kényszereivel még nem tudná megtartani a terheit, csak a többi részre támaszkodva. A Gerber-tartó vizsgálatát egyszerű tartók sorozatára vezetjük vissza: a befüggesztett rész egyensúlyából kapott belső reakciókat külső teherként működtetjük a fix részen. Ez egyben az építés sorrendje is — fordítva: előbb a fix rész épül, arra kerül a befüggesztett.

4. ábraGerber-tartó a tankönyv 5.4. ábrája nyomán: a II. test egy görgővel + a belső csuklóval pontosan három ismeretlent hoz — vele kezdünk; a csuklóerő ellentettje a fix részre kerül.

A Gerber-tartó egyenleteinek célszerű sorrendje (5.4.c)

\text{II:}\ \Mp{C} \to D,\quad \text{II:}\ \Mp{D} \to C_y\,(C'_y),\quad \text{II:}\ \Fx \to C_x\,(C'_x)

\text{I:}\ \Mp{B} \to A_y,\quad \text{I:}\ \Mp{A} \to B,\quad \text{I:}\ \Fx \to A_x;\qquad \text{ellenőrzés: } \Sigma\!:\ \Fy

A kulcslépés: a befüggesztett rész felismerése

Kellő gyakorlattal ránézésre megy; addig segít a három ismeretlent tartalmazó egyensúlyi kijelentés keresése. Befogott fix résznél (5.5. ábra) a befogás egyedül három ismeretlent hoz, ezért a másik oldal a befüggesztett: ott a görgő + belső csukló ad hármat. Egy fix részhez több befüggesztett rész is kapcsolódhat, befüggesztett rész egy másik befüggesztettre is támaszkodhat (akkor a láncot a végéről kezdjük), és a kapcsolat lehet egyetlen rúd is — akkor a befüggesztett rész külső kényszerét kell növelni.

5. ábraGerber-változatok a tankönyv 5.5. és 5.6. ábrája nyomán: befogott fix rész, lánc, egyetlen rúddal befüggesztett rész.

Próbáld ki – hová tedd a csuklót? (nyomatékok kiegyenlítése)

a csukló távolsága B-től, s1,50 megyenletes teher, p5,0 kN/m

Miért van egyáltalán csukló?

Három támasz és egy folytatólagos gerenda: 4 ismeretlen, 3 egyenlet — statikailag határozatlan. Egy belső csukló egy plusz egyenletet ad ( $M_C = 0$ ), a tartó határozottá válik, és a csukló helyével még a nyomatékok eloszlását is te szabod meg.

Még nem egyenlő a két szélsőérték

|M_B| = 22{,}50\ \text{kNm}

M_{\text{mező}} = 12{,}66\ \text{kNm}

a csík: a támasznyomaték aránya a kettő összegéből (50 % = kiegyenlített)

A csukló a B–D nyílásban van, $s = 1{,}50$ m-re B-től. Ha a csukló közel van B-hez, a B feletti negatív nyomaték kicsi és a mezőnyomaték nagy; ha távol, a konzolos rész hosszú és a támasznyomaték nő. A mérnök ott teszi a csuklót, ahol a kettő nagysága azonos — így a gerenda anyaga egyenletesebben dolgozik. Tipp: két egyforma nyílásnál $s \approx 0{,}17\,L$ környékén keresd.

Reakciók: A = 11,25, B = 37,50, D = 11,25 kN (összegük 60,0 = 60,0 kN, a teljes teher).

6.5 Háromcsuklós tartó (tankönyv 5.3.2)

Két test, egymáshoz egy csuklóval, a földhöz egy-egy csuklóval kapcsolva: csarnokok keretállásai, ívhidak. A külső támaszok lehetnek azonos vagy eltérő magasságban. A számítás kezdetekor mindegyik egyensúlyi kijelentésben négy ismeretlen szerepel, miközben csak három független egyenlet írható — ezért általános esetben kivételesen az első egyenlet helyett két egyenletből álló egyenletrendszert oldunk meg: az $A$ reakcióhoz az I. testre a $C$ -re írt nyomatéki egyenlet (kizárja a csuklóerőket) és az egész szerkezetre a $B$ -re írt nyomatéki egyenlet (kizárja $B$ -t). A két rendszer megoldása után egy-egy test vetületi egyenleteiből jön a belső reakció.

6. ábraHáromcsuklós keret a tankönyv 5.7–5.8. ábrája nyomán: a váz és az elkülönítés a csuklóerő-párral.

Ha azonos magasságban vannak a támaszok

Nem kell egyenletrendszer

Az egész szerkezetre a külső csuklókra írt nyomatéki egyenletekből a függőleges reakciók közvetlenül számolhatók (a másik csukló vízszintes komponensének hatásvonala átmegy a ponton). Utána egy testre a $C$ -re írt nyomatéki egyenlet adja a vízszintes reakciót. Kiemelten fontos, hogy ne hagyjuk ki a vízszintes reakciókat — függőleges teher mellett sem nullák.

Két másik út

Speciális csuklóhelyzet, ferde koordináták, szuperpozíció

Ha a belső csukló különleges helyen van, az egyik testre a $C$ -re írt egyenletben egy ismeretlen maradhat. Ferdén felvett koordináta-rendszerrel is elérhető, hogy az egészre írt nyomatéki egyenlet egyismeretlenes legyen. Szuperpozícióval a terhelést testenként bontjuk: a terheletlen test két csuklóval rúdként viselkedik, és teheresetenként egy csuklóval és rúddal megtámasztott testet oldunk meg — ez grafikus megoldáshoz kényelmes.

Háromcsuklós tartó, azonos magasságú támaszok

\Sigma\!:\ \Mp{A} \to B_y,\quad \Sigma\!:\ \Mp{B} \to A_y,\quad \text{II:}\ \Mp{C} \to B_x,\quad \Sigma\!:\ \Fx \to A_x

\text{II:}\ \Fx \to C_x,\quad \text{II:}\ \Fy \to C_y;\qquad \text{ellenőrzés: I:}\ \Mp{C}

Próbáld ki – vándoroltasd a terhet, nézd a tolóerőt

a teher helye, x2,5 ma teher, F12 kNa keret magassága, h4,0 ma csukló helye, x_C4,0 ma csukló magassága (törtvonalú gerenda)4,0 m

Reakciók és csuklóerő (kN)

Így számolod (azonos magasságú támaszok)

\Mp{A}\ -12\cdot 2{,}50 + 8\,B_y = 0 \Rightarrow B_y = 3{,}75

\Mp{B}\ 12\cdot 5{,}50 - 8\,A_y = 0 \Rightarrow A_y = 8{,}25

\Mp{C}\ (\text{II}):\ 4{,}0\,B_y + 4{,}0\,B_x = 0 \Rightarrow B_x = -3{,}75

\Fx\ A_x + B_x = 0 \Rightarrow A_x = 3{,}75

A vízszintes tolóerő:

H = |A_x| = |B_x| = 3{,}75\ \text{kN}

— pedig a teher függőleges. A C csuklóban nem lehet nyomaték, ezért a fél keretet a támaszok vízszintes „tolása” tartja meg. Minél laposabb a keret (kisebb

h_C

), annál nagyobb a tolóerő; a csukló fölött álló teher adja a legnagyobbat.

A csuklóban a nyomaték: 0,00 kNm (mindig nulla) · a legnagyobb nyomaték a szerkezetben: 15,00 kNm.

6.6 Terhelt csukló (tankönyv 5.3.3)

Ha a Gerber- vagy a háromcsuklós tartó csuklóját közvetlenül koncentrált erő terheli, a testekre ható csuklóerők nem egymás ellentettjei: a csuklóra ható ellentettjeik a terhelő erővel tartanak egyensúlyt. A csuklót ezért az elkülönítésben, a kijelentésekben és az egyenletekben is külön kezeljük — közös metszéspontú erőrendszer, két vetületi egyenlet.

7. ábraCsuklóján terhelt Gerber-tartó elkülönítése a tankönyv 5.9. ábrája nyomán: a csuklóra a teher és a két csuklóerő ellentettje hat.

Gerber-tartó

Befüggesztett rész → csukló → fix rész

A befüggesztett rész kijelentése most is egy egyszerű tartóé. Utána a csuklót mint közös metszéspontú erőrendszert kezeljük: két vetületi egyenletből a fix részről a csuklóra átadódó erő. Végül ennek ellentettjét működtetjük a fix részre — ismét egyszerű tartó.

Háromcsuklós tartó

Kétismeretlenes rendszerek, a csukló ellenőrzésre

Az I. test külső csuklóerőihez: I-re $\Mp{C}$ + az egészre $\Mp{B}$ ; a II. test külső csuklóerőihez: II-re $\Mp{C}$ + az egészre $\Mp{A}$ . A belső csuklóerőket testenként vetületi egyenletekből, és a terhelt csukló egyensúlyával ellenőrzünk.

Miért nem kell a terheletlen csuklót elkülöníteni?Hincz–Németh 5.3.3

Ugyanezt a teljes elkülönítést az egyszerű belső csuklónál is el lehetne végezni — de ha a csuklóra csak két erő hat (a két testre ható csuklóerők ellentettjei), akkor az a két erő egymás ellentettje kell legyen. Pontosan ezt használtuk ki, amikor a terheletlen csuklóban $C' = -C$ -t vettünk fel.

6.7 Egyszerű tartóra visszavezethető kialakítások (tankönyv 5.3.4)

Ha a két testet összekapcsoló belső kényszerek fokszáma összesen három (pl. csukló + rúd), akkor a külső kényszerek fokszáma is három, és a teljes szerkezet egyensúlyi kijelentése olyan, mint egy egyszerű tartóé: azzal kezdhetünk. A külső reakciók ismeretében akár az I., akár a II. test egyensúlyából számolhatók a belső reakciók. Ha a II. test csak az I.-hez kapcsolódik (a földhöz nem), akkor a II. test kijelentése önmagában is egyszerű tartóé — vele is kezdhetünk: ez egy olyan Gerber-tartó, ahol a befüggesztett rész csak a fix részhez kapcsolódik.

8. ábraA tankönyv 5.11. és 5.12. ábrája nyomán: csukló + rúd köti a két testet — az egész szerkezet egyszerű tartóként indul.

6.8 Függesztőműves és feszítőműves tartó (tankönyv 5.3.5–5.3.6)

Két test egy csuklóval összekötve, az egyik csuklóval, a másik görgővel a földhöz: nem tartó. A Gerber-tartóhoz képest a fix rész megtámasztása hiányos, a háromcsuklóshoz képest a görgő kevés. Tartóvá további kényszerekkel tehető: a függesztőmű egymáshoz és a testekhez csuklósan kapcsolódó rudak rendszere a gerenda fölött; a feszítőmű ugyanez az x tengelyre tükrözve, a gerenda alatt. Fontos, hogy elkülönítsük azokat a csuklókat, amelyekre kettőnél több erő hat ( $D, E$ ), a rudak erejét viszont egyszerű rúderőként kezeljük.

9. ábraFüggesztőmű és feszítőmű a tankönyv 5.13–5.14. ábrája nyomán: 10 ismeretlen, 3 + 3 + 2 + 2 egyenlet.

A függesztőmű megoldásának sorrendje (5.13.d)

\Sigma\!:\ \Mp{A}, \Mp{B}, \Fx \to B, A_y, A_x;\qquad \text{I+D:}\ \Mp{C}, \Fx, \Fy \to S_3, C_x, C_y

\text{D:}\ \Fx, \Fy \to S_1, S_2;\qquad \text{E:}\ \Fx, \Fy \to S_4, S_5

Az összevonás trükkje

Az I. testet és a $D$ csuklót együtt különítjük el (5.13.c ábra): a rajtuk átmenő $S_1, S_2$ belső erővé válik és kiesik, marad egy egyszerű tartó képe az $A$ , $C$ és a vízszintes $S_3$ ismeretlenekkel. A csuklók vetületi egyenletei ezután egyenként adják a rúderőket — a feszítőműnél (több csuklóval) ugyanígy, csak hosszabban.

10. ábraA H06/5–6 szerkezete: rudakkal tartott, terhelt csukló — a GYF‑5 feladata. A rudak nem kell elkülöníteni, a D csuklót igen.

6.9 Egyéb összetett tartók (tankönyv 5.3.7)

Ál-háromcsuklós tartók: két testet két rúd köt össze, mindkettő csuklóval a földhöz (5.15) — a fokszámok testenkénti összege a háromcsuklós tartóéval egyezik, és a megoldás is hasonló: kétismeretlenes rendszer az egészre írt $\Mp{B}$ és az I. testre a két rúd hatásvonalának metszéspontjára írt nyomatéki egyenletből. A 2-2-2 fokszámú kialakítás (5.16) két fél-Gerber-tartóként is megoldható: a vízszintes erőkre az egyik, a függőlegesekre a másik test a befüggesztett.

Többszörösen összetett tartók (5.17): egy megépült részhez kapcsoljuk a hozzáépítetteket, amelyek sokszor befüggesztett részként viselkednek — a reakciókat az építéssel ellentétes sorrendben számoljuk: előbb a befüggesztettek, aztán a fix háromcsuklós tartó a belső reakciók ellentettjeivel. Zárt keret (5.18): a külső erők szempontjából egyetlen test, a $CDE$ rész pedig olyan, mintha $C$ és $E$ külső csuklók lennének — háromcsuklós tartóként számolható, az I. test egyenletei ellenőrzésre maradnak.

11. ábraÁl-háromcsuklós tartó és zárt keret a tankönyv 5.15. és 5.18. ábrája nyomán.

Itt és a gyakorlaton	A tankönyvben	Megjegyzés
belső csuklóerő $C_x, C_y$	belső reakció, $C_x, C_y$ és $C'_x, C'_y$	A vesszős a másik testre hat, az ellentett irányban rögzítve; számértékük azonos.
II. test = „amelyik nem áll meg egyedül”	befüggesztett rész / fix rész	A befüggesztett rész kijelentésében pontosan három ismeretlen van.
szétszedés	elkülönítés (a földtől és egymástól)	Amire csak két erő hat, azt nem: rúd.
I:, II:, Σ: az egyenlet előtt	„fel kell tüntetni, melyik egyensúlyi kijelentés alapján”	Három különböző ΣFx egyenlet létezik egy kéttestű szerkezeten.
tolóerő $H$	a külső csuklók vízszintes reakciókomponense	Háromcsuklós tartónál sose felejtsd ki.
a csukló mint külön test	terhelt csukló: közös metszéspontú erőrendszer	Két vetületi egyenlet; C_I ≠ −C_II.
test + csukló együtt	csukló és test összevonása (5.13.c)	A közös rudak erői belsővé válnak és kiesnek.

A leggyakoribb hibák — és hogyan kerüld el őket

A csuklóerő ellentettje lemarad a fix részről. Ha egy testen „nincs teher”, ott van a csuklóerő.
Háromcsuklós tartónál A_x = B_x = 0, „mert a teher függőleges”. A ΣF_x csak annyit mond: $A_x = -B_x$ . A C-re írt nyomatéki egyenlet adja a nagyságukat.
Terhelt csuklón a terhet „odaadod” egy testnek — a csukló egyensúlya osztja szét, három részt különíts el.
Egy testre négy egyenlet. Testenként három független; a negyedik ellenőrzés. A hiányzó ismeretlent a másik testből hozd.
A teljes megoszló teher eredője egy testre írt egyenletben — csak a testre eső rész eredője jár.
Az ellenőrzés a Σ-ból: a csuklóerők kiesnek, minden reakció benne van — terhelt csuklónál a csuklón ható teher is.

2. rész

Kidolgozott feladatok

A tankönyv 5.3 példái számokkal és a H05–H06 feladatai. Minden feladatban ugyanaz a recept: elkülönítés testenként, kijelentések, egyismeretlenes egyenletek a befüggesztett résszel (vagy az egésszel) kezdve, ellenőrzés, eredményvázlat. Az egyenletek előtt mindig ott az I:, II:, Σ: — figyeld, melyik testből jön.

GYF‑1

Gerber-tartó — előbb a befüggesztett rész, aztán a fix rész

⏱ 8 percTankönyv 5.4. ábra, számokkal

Feladat

A 9 m hosszú gerendát az $A$ csukló ( $x = 0$ ), a $B$ görgő ( $x = 4$ m) és a $D$ görgő ( $x = 9$ m) támasztja, az $x = 6$ m helyen $C$ belső csukló szakítja meg. Terhek: $F_1 = 12\ \text{kN}$ az $x = 2$ m helyen, jobbra-lefelé, a vízszintessel $60^\circ$ -ot bezárva; $F_2 = 8\ \text{kN}$ függőleges az $x = 8$ m helyen. Határozd meg a külső reakciókat és a $C$ csuklóban átadódó erőt!

Az I. test (A–C) csuklóval és görgővel áll: fix rész. A II. test (C–D) egyetlen görgővel csak a C csuklóra támaszkodva áll: befüggesztett rész.

Megoldás

0 / 8 lépés

Előbb próbáld meg magad! Ha elakadtál, tárd fel a megoldást lépésenként.

Ugyanez filmen – szétszedés a csuklónál, előbb a II., aztán az I. test

FilmGYF‑1 · Gerber-tartó — szétszedés, befüggesztett rész, fix rész8 fejezet · 33 s

A kék nyilak a belső csuklóerő-pár: a két testen ellentett irányúak, azonos nagyságúak. A halvány elemek az adott egyenletben nem szerepelnek.

GYF‑2

Háromcsuklós keret vízszintes teherrel — az egész szerkezetre írt nyomatéki egyenletek

⏱ 9 percH05 szintemelő, 2. feladat

Feladat

A keret $A$ csuklójából $3a$ magas oszlop indul, a gerenda vízszintesen fut a $C$ belső csuklóig ( $3a$ ), majd $a$ -val lejt a jobb sarokig ( $3a$ vízszintesen), ahonnan $2a$ magas oszlop megy le a $B$ csuklóig. A bal oszlopot jobbra mutató, egyenletes $p$ teher, a ferde gerendaszakasz közepét függőleges $F$ terheli. Határozd meg a reakciókat és a csuklóerőt! $a = 2\ \text{m},\ p = 4\ \text{kN/m},\ F = 12\ \text{kN}$ .

Koordináták az A-ból: E(0; 6), C(6; 6), G(12; 4), B(12; 0). A két külső csukló azonos magasságban van — ezért az egészre írt nyomatéki egyenletekből a függőleges reakciók közvetlenül kijönnek.

Megoldás

0 / 8 lépés

Előbb próbáld meg magad! Ha elakadtál, tárd fel a megoldást lépésenként.

Ugyanez filmen – az egész szerkezet segít ki, aztán jön a csukló

FilmGYF‑2 · Háromcsuklós keret — az egész szerkezet segít ki8 fejezet · 33 s

A lila nyilak a felvett reakciók, a kékek a belső csuklóerő-pár. A végén a negatív értékek nyilai átfordulnak a tényleges irányba.

GYF‑3

Gerber-tartó befogással — most a bal oldal a befüggesztett rész

⏱ 7 percH05 szintemelő, 3. feladat (tankönyv 5.5. ábra)

Feladat

A $7a$ hosszú gerenda bal végét ( $P$ ) a vízszintessel $\alpha$ szöget bezáró, balra-felfelé húzó $F$ erő terheli. Az $A$ görgő $a$ -ra, a $C$ belső csukló $5a$ -ra van a bal végtől, a jobb vég ( $B$ ) mereven befogott. Határozd meg a külső és belső reakciókat! $a = 2\ \text{m},\ F = 12\ \text{kN},\ \alpha = 30^\circ$ .

Az I. test (P–C) görgővel és belső csuklóval: 1 + 2 = 3 ismeretlen → befüggesztett. A II. test (C–B) a befogással önmagában is tartó: fix rész.

Megoldás

0 / 7 lépés

Előbb próbáld meg magad! Ha elakadtál, tárd fel a megoldást lépésenként.

GYF‑4

Csuklóján terhelt Gerber-tartó — a csuklót is el kell különíteni

⏱ 9 percTankönyv 5.9. ábra, számokkal

Feladat

A GYF‑1 tartója ( $A$ csukló 0, $B$ görgő 4 m, $C$ csukló 6 m, $D$ görgő 9 m), de most a $C$ csuklót közvetlenül is terheli egy $F_2 = 10\ \text{kN}$ függőleges erő. További terhek: $F_1 = 12\ \text{kN}$ (60°, jobbra-lefelé) az $x = 2$ m helyen és $F_3 = 6\ \text{kN}$ az $x = 8$ m helyen. Határozd meg a reakciókat és a két testre ható csuklóerőket!

A terhelt csuklóra három erő hat: F₂ és a két testről érkező csuklóerők ellentettjei. Ezek most nem egymás ellentettjei!

Megoldás

0 / 7 lépés

Előbb próbáld meg magad! Ha elakadtál, tárd fel a megoldást lépésenként.

Ugyanez filmen – a csukló mint külön test

FilmGYF‑4 · Terhelt csukló — a csukló mint külön test7 fejezet · 32 s

A kék nyilak a csuklóerők: a II. testre 2 kN felfelé, az I. testre 12 kN lefelé — a különbség a csuklón ható teher. A csuklóra a testekről érkező erők ellentettjei hatnak.

GYF‑5

Két rúddal tartott, terhelt csukló — rúderők és a gerenda reakciói

⏱ 8 percH06 szintemelő, 5–6. feladat

Feladat

A $7a$ hosszú gerendát az $A$ görgő ( $a$ -nál) és a $B$ csukló (a jobb végen) támasztja. Az $E$ pontból ( $4a$ ) $3a$ magas oszlop áll mereven a gerendán, teteje $C$ . A $D$ csukló a gerenda bal vége fölött $3a$ magasan van; a $D$ – $C$ vízszintes és a $D$ – $E$ ferde rúd tartja. A $D$ csuklót függőleges $F$ erő terheli. Végezd el az elkülönítést, írd fel a kijelentéseket, és számítsd ki a rúderőket és a reakciókat! $a = 2\ \text{m},\ F = 12\ \text{kN}$ .

A gerenda és az E–C oszlop egy merev test (I). A DC és DE rudakra csak a végükön hat erő: rúdként kezeljük. A D csuklóra három erő hat: F, S_DC, S_DE. A DE rúd 3-4-5-ös: hossza 5a = 10 m.

Megoldás

0 / 6 lépés

Előbb próbáld meg magad! Ha elakadtál, tárd fel a megoldást lépésenként.

GYF‑6

Függesztőműves tartó — test + csukló összevonása

⏱ 10 percTankönyv 5.13. ábra, számokkal

Feladat

A 8 m-es gerendát az $A$ csukló és a $B$ görgő támasztja, a közepén ( $C$ , 4 m) belső csukló szakítja meg. A függesztőmű: $D(2;\ 2)$ és $E(6;\ 2)$ csuklók, rudak: $S_1$ ( $A$ – $D$ ), $S_2$ ( $D$ – $P$ , függőleges), $S_3$ ( $D$ – $E$ ), $S_4$ ( $E$ – $Q$ , függőleges), $S_5$ ( $E$ – $B$ ). Terhek: $F_1 = 12\ \text{kN}$ az $x = 3$ m, $F_2 = 8\ \text{kN}$ az $x = 5$ m helyen. Határozd meg a reakciókat, a csuklóerőt és az öt rúderőt!

Gerenda + csukló önmagában mechanizmus lenne (a fix rész megtámasztása hiányos); a függesztőmű rúdjai teszik tartóvá. A D és E csuklóra három-három erő hat.

Megoldás

0 / 7 lépés

Előbb próbáld meg magad! Ha elakadtál, tárd fel a megoldást lépésenként.

3. rész

Kalkulátorok

Paraméteres Gerber-tartó, Gerber befogással és háromcsuklós keret — mindegyiknél terhelhető a csukló is. A program kiszámolja a reakciókat és a belső csuklóerőt, és kiírja a tankönyvi levezetést testenként; a főpontokra rámutat a rajzon, ha a lépés fölé viszed az egeret.

Összetett tartó kalkulátor — reakciók, csuklóerő, levezetés

Alaphelyzetben a GYF‑1 Gerber-tartója: $D = 5{,}333$ , $C_y = 2{,}667$ , $B = 9{,}196$ , $A_y = 3{,}863$ , $A_x = -6\ \text{kN}$ . Told el a csuklót, tegyél terhet a csuklóra, vagy válts háromcsuklós keretre — a levezetés sorrendje követi a szerkezetet.

Kalkulátor

Összetett tartó kalkulátor

2 test · 6 ismeretlen · 6 egyenlet · egyensúly ✓

Lila: külső reakciók a tényleges irányukkal; kék: a belső csuklóerő a csuklós rúdvégű (II.) testre — az I. testre az ellentettje hat.

A csukló – B görgő – C belső csukló – D görgő (tankönyv 5.4). Az I. test A–C a fix rész, a II. test C–D a befüggesztett rész. F₁ az I. testen, F₂ és p a II. testen, F_C a csuklón.

A–B távolság4,0 mB–C távolság (konzol a csuklóig)2,0 mC–D távolság (befüggesztett rész)3,0 mF₁ az I. testen12 kNF₁ helye A-tól2,00 mF₁ iránya (−90 = lefelé)-60 °F₂ a II. testen (lefelé)8 kNF₂ helye C-től2,00 mp a II. testen (lefelé)0,0 kN/mF_C a csuklón (lefelé)0 kN

Reakciók és csuklóerő

Hely	Vízsz.	Függ.	Nyomaték
A csukló	-6,00	3,86	–
B görgő	0,00	9,20	–
D görgő	0,00	5,33	–
C belső csukló, a II. testre	0,00	2,67	0

Fokszám-mérleg: 2 test × 3 = 6 egyenlet, 6 ismeretlen → statikailag határozott. Ellenőrzés az egészre: ΣF_x = 0,0000, ΣF_y = 0,0000, ΣM = 0,0000.

LevezetésÍgy írnád le a gyakorlaton — testenként, egyismeretlenes egyenletekkel2 / 10

1
Elkülönítés — a szabadtest-ábra
A szerkezet 2 merev testből áll; a belső csuklókban a két testre ellentett kapcsolati erőpárt veszünk fel (hatás–ellenhatás). Minden testre külön egyensúlyi kijelentés írható.
- $A_{x}$ vízszintes reakció az A támasznál, jobbra felvéve
- $A_{y}$ függőleges reakció az A támasznál, felfelé felvéve
- $B$ a görgő reakciója a B támasznál, a gördülési síkra merőlegesen (90° irányban) felvéve
- $D$ a görgő reakciója a D támasznál, a gördülési síkra merőlegesen (90° irányban) felvéve
- $C_{x}$ vízszintes kapcsolati erő a C belső csuklóban (a két testen ellentett)
- $C_{y}$ függőleges kapcsolati erő a C belső csuklóban (a két testen ellentett)
- $F_{1}$ erő a(z) 1. rúdon, az A ponttól 2 m-re (12,00 kN)
- $F_{2}$ erő a(z) 3. rúdon, a C ponttól 2 m-re (8,00 kN)
2
Egyensúlyi kijelentés
Az aktív terhek és a reakciók együtt egyensúlyi erőrendszert alkotnak — az egész szerkezetre és minden testre külön is. Az egész szerkezetre írt egyenletekben a belső csuklóerők kiesnek (hatás–ellenhatás), ezért érdemes velük kezdeni.
$(\underline{F_{1}},\ \underline{F_{2}},\ \underline{A_{x}},\ \underline{A_{y}},\ \underline{B},\ \underline{D}) \ekv \underline{O}\quad(\text{az egész szerkezet})$ $(\underline{F_{1}},\ \underline{A_{x}},\ \underline{A_{y}},\ \underline{B},\ \underline{C_{x}},\ \underline{C_{y}}) \ekv \underline{O}\quad(\text{I. test: 1, 2. rúd})$ $(\underline{F_{2}},\ \underline{D},\ \underline{C_{x}},\ \underline{C_{y}}) \ekv \underline{O}\quad(\text{3. rúd})$

A program itt nem a merevségi módszerrel számol, hanem egyensúlyi egyenletekből — a két út végeredménye egyezik.

Gerber-tartó csuklóhely-csúszkával

Ugyanaz a felfedező, mint az elméletben: hol legyen a csukló, hogy a támasz feletti és a mezőbeli nyomaték egyenlő legyen?

a csukló távolsága B-től, s1,50 megyenletes teher, p5,0 kN/m

Miért van egyáltalán csukló?

Még nem egyenlő a két szélsőérték

|M_B| = 22{,}50\ \text{kNm}

M_{\text{mező}} = 12{,}66\ \text{kNm}

a csík: a támasznyomaték aránya a kettő összegéből (50 % = kiegyenlített)

Reakciók: A = 11,25, B = 37,50, D = 11,25 kN (összegük 60,0 = 60,0 kN, a teljes teher).

4. rész

Gyakorlás

Előbb a játék: szedd szét és számold. Aztán a fogalmi kvíz, a hibakereső és a számolós generátorok — kilenc feladattípus, mindegyik új számokkal minden indításkor.

Előbb játssz – szedd szét és számold

Játék

Szedd szét és számold

1 / 5. kör0 pont

Körönként egy összetett tartó. Először döntsd el, melyik testtel kezdenél (20 pont), aztán a szétszedett szerkezeten állítsd be a belső csuklóerőt és egy reakciót (80 pont). Ha stimmel, a két test összeugrik.

Az ötlet – fogalmi kvíz

KvízÉrted, vagy csak számolod?

Tizenhárom kérdés a belső csuklóról, a befüggesztett részről, a tolóerőről és a terhelt csuklóról.

Kérdések betöltése…

Hibakereső – találd meg a hibát

HibakeresőA csuklóerő ellentettje kimaradt a fix részről1 / 6

Az alábbi megoldás egy helyen hibás. Kattints arra a lépésre, ahol a hiba van!

Gerber-tartó: A csukló (0), B görgő (4 m), C belső csukló (6 m), D görgő (9 m). Egyetlen teher:

F = 12\ \text{kN}

lefelé az

x = 8

m helyen. Mekkora

B

Számolós gyakorlás

További feladattípusok

Mikor mehetsz tovább

Akkor vagy kész ezzel a modullal, ha egy Gerber-tartót és egy háromcsuklós keretet segítség nélkül szét tudsz szedni, meg tudod mondani, melyik testtel kezdesz és miért, és a csuklóerőt a helyes előjellel írod át a másik testre. A következő modulban (rácsos tartók) ugyanez a gondolat megy tovább: ott minden elem rúd, és minden csomópont egy közös metszéspontú erőrendszer — a csomóponti módszer a terhelt csukló egyenleteinek sokszorozása. A 8. modul pedig azt vizsgálja, mikor nem elég a fokszámok egyezése: a degenerált elrendezéseket.