9Modul

Igénybevételi ábrák

Eddig a tartóra ható külső erőket kerestük. Most belenézünk a tartóba: mekkora erő és nyomaték adódik át egy keresztmetszeten? Ez a normálerő, a nyíróerő és a hajlítónyomaték — és a rajzuk, az igénybevételi ábra, a félév gerince: a vizsgán két feladat is erről szól.

Belső erők, a keresztmetszet és a két tartórész
N, V, M definíciója és előjelszabálya
Igénybevétel számítása egy keresztmetszetben
Igénybevételi függvények és ábrák; dV/dx = −q, dM/dx = V
Ferde és tört tengelyű tartó, elágazás, Gerber-tartó
A tankönyv tippjei és trükkjei filmen és kalkulátorral

Elmélet Kidolgozott feladatok Kalkulátorok Gyakorlás

1. rész

Elmélet

Vágd el gondolatban a tartót egy keresztmetszetben: a két darabnak külön-külön is egyensúlyban kell lennie, ehhez a vágás helyén erő és nyomaték kell. Ezek a belső erők — és ha minden keresztmetszetre kiszámoljuk őket, megkapjuk az igénybevételi ábrákat.

9.1 Belső erők: vágjuk el a tartót

Rúdnak azt a karcsú szerkezeti részt nevezzük, amelynek egyik irányú kiterjedése lényegesen nagyobb a többinél — ez a hosszirány. A hosszirányra merőleges síkkal kimetszett síkidom a rúd keresztmetszete, a keresztmetszetek súlypontján átmenő vonal a rúd tengelye. A keresztmetszetre a tengelyen lévő pontjával hivatkozunk. Ez a rúdfogalom általánosabb a rácsos tartóénál: a kapcsolat nem csak csuklós lehet, a teher tetszőleges.

A szerkezet egyensúlyban van, tehát bármely része is egyensúlyban van. Vágjuk el a tartót egy $K$ keresztmetszetben! A két rész csak úgy lehet külön-külön egyensúlyban, ha a vágás helyén — egy merev befogásnak megfelelően — egy tetszőleges nagyságú és irányú erő (a keresztmetszet súlypontján át) és egy nyomaték ébred. Ezek a belső erők; a hatás–ellenhatás miatt a két oldalon egymás ellentettjei.

1. ábraA belső erők definíciója a tankönyv 8.1. ábrája nyomán: a szerkezet, az összes külső erő, a K-ban elvágott szerkezet befogásokkal, majd a két rész az egyensúlyozó belső erőkkel.

A keresztmetszet mint kényszerHincz–Németh 8.1.1

A tankönyv lábjegyzete szerint a keresztmetszet ebben a megközelítésben egy olyan kényszer, amely a tőle „jobbra” és „balra” levő tartórészt kapcsolja össze, és a tetszőleges irányú relatív eltolódást meg a relatív elfordulást is megakadályozza — ezért felel meg egy befogásnak, és ezért három belső erő adja: két erőkomponens és egy nyomaték. Az sem számít, hogy egy erő teherként volt megadva vagy reakcióként számítottuk ki: a belső erőket „nem érdekli”.

9.2 Igénybevételek: N, V, M és az előjelszabály

A belső erőt nem az $xyz$ koordináta-rendszerben bontjuk fel, hanem a hatása szerint. A tartó tengelyével párhuzamos komponens a normálerő, $N$ (a keresztmetszet síkjára merőleges — a sík normálisával párhuzamos). A keresztmetszet síkjába eső komponens a nyíróerő, $V$ (az irodalomban $T$ és $Q$ is). A nyomaték hatására az egyenes tengely meggörbül: ez a hajlítónyomaték, $M$ .

Az igénybevételek előjele (tankönyv 8.1.2.2)

A normálerő akkor pozitív, ha a keresztmetszetből kifelé mutat, azaz húzza azt; a nyomó normálerő negatív.
A pozitív nyíróerő irányát úgy kapjuk, hogy a pozitív normálerő irányát az adott keresztmetszetben az óramutató járásával megegyezően 90°-kal elforgatjuk.
A hajlítónyomaték előjeléhez a tengely egyik oldalát pozitívnak jelöljük ki. Pozitív az a nyomaték, amelynek kívülről rárajzolt félköríves nyilát a pozitív oldalról indítjuk. Vízszintes vagy közel vízszintes szakaszon az alsó oldalt választjuk pozitívnak.

A bal és a jobb oldali tartórészre ható igénybevétel előjele (és nagysága) így azonos — ezért a számértékek önmagukban elegendők, a $b$ és $j$ indexek elhagyhatók.

2. ábraA pozitív N, V és M a keresztmetszet két oldalán (tankönyv 8.2. ábra b–d): a nyilak a két részen ellentettek, az előjel ugyanaz; az M nyila a választott pozitív oldalról indul.

Normálerő

Húz vagy nyom. Pozitív = húzás, mint a rúderőnél. Vízszintes tartón csak vízszintes erőkből keletkezik; ferde rúdon a függőleges teher is ad.

Nyíróerő

A keresztmetszet síkjában „elcsúsztatja” a két részt. A V betű a vertikálisra utal: gerendákon függőleges. Előjele: N 90°-kal az óramutató szerint forgatva.

Hajlítónyomaték

Meggörbíti a tengelyt. Erőpárra bontva az egyik oldalon húzó-, a másikon nyomóerő: az ábrát mindig a húzott oldalra rajzoljuk.

Próbáld ki – forgasd a rudat, váltsd a pozitív oldalt

Felfedező

Az előjelszabály — mi fordul, mi nem?

A rúd dőlésszöge0 °

Haladási irány

Pozitív oldal (a haladási irányhoz képest)

N mindig a keresztmetszetből kifelé mutat (húz) — nem függ sem a haladási iránytól, sem a pozitív oldaltól.
V az N nyíl 90°-os, óramutató szerinti elforgatottja — ez sem függ a választástól. A két oldalon ellentett nyilak, azonos előjel.
M nyilát a pozitív oldalról indítjuk: most ez a(z) alsó oldal. Ha átváltod az oldalt, csak az M nyilak fordulnak meg.

A gyakorlatban vízszintes vagy közel vízszintes rúdon az alsó oldalt választjuk pozitívnak, így az M ábra mindig a húzott oldalra kerül. Ferde vagy függőleges rúdon dönteni kell — és a döntést az ábrán a + jellel jelöljük. Ugyanerre a pozitív oldalra mérjük fel az N és a V ábrát is (tankönyv 8.3.2): vízszintes tartón a pozitív N, V és M mind a tartó alatt, a negatív fölötte van.

9.3 Igénybevétel számítása egy keresztmetszetben

Jelölje $(\underline F_b, \underline R_b)$ a K bal oldalán, $(\underline F_j, \underline R_j)$ a jobb oldalán levő tartórészre ható erőket (terheket és reakciókat). Az egész szerkezet egyensúlyban van, és az elvágás után mindkét rész is:

A tankönyv (8.1)–(8.3) kijelentései

(\underline F_b, \underline R_b, \underline F_j, \underline R_j) \ekv \underline O\qquad (\underline F_b, \underline R_b, \underline N_{Kb}, \underline V_{Kb}, M_{Kb}) \ekv \underline O\qquad (\underline F_j, \underline R_j, \underline N_{Kj}, \underline V_{Kj}, M_{Kj}) \ekv \underline O

Ebből következik a módszer lényege: ha a bal rész kijelentésének mindkét oldalához hozzáadjuk a jobb oldali erőket, a bal oldalon az egész szerkezet egyensúlyi erőrendszere jelenik meg, amit elhagyhatunk. Marad:

A tankönyv (8.5) és (8.7) egyenértékűsége — ezt használjuk

(\underline N_{Kb}, \underline V_{Kb}, M_{Kb}) \ekv (\underline F_j, \underline R_j)\qquad\qquad (\underline N_{Kj}, \underline V_{Kj}, M_{Kj}) \ekv (\underline F_b, \underline R_b)

\text{az egyik oldal igénybevételei} = \text{a MÁSIK oldal összes erejének redukáltja a K pontra}

3. ábraA K keresztmetszet két oldala (tankönyv 8.3. ábra): az egész tartó, a bal rész és a jobb rész a saját belső erőivel.

A recept egy keresztmetszetre

Válaszd ki az egyik oldalt (amelyiken kevesebb erő van — konzolon a szabad vég felőli).
Írd fel az erre az oldalra ható összes külső erőt (terhek és reakciók).
Vetítsd őket a pozitív N irányra → $N_K$ ; a pozitív V irányra → $V_K$ ; írd fel a K pontra a nyomatékukat a pozitív M forgásirányával → $M_K$ .

Így a három egyenletben mindig csak egy-egy igénybevétel az ismeretlen, és az egyenlet másik oldalát elég kiszámolni — nincs átrendezés, nincs előjelhiba. A tankönyv a pozitív irányt zárójelben jelzi az egyenlet előtt: $(\leftarrow):\ N_1 = \ldots$ , $(\uparrow):\ V_1 = \ldots$ , $(\curvearrowright):\ M_1 = \ldots$ balról; jobbról $(\rightarrow), (\downarrow), (\curvearrowleft)$ .

4. ábraA tankönyv 8.4.a ábrája: kéttámaszú tartó eredményvázlata (6 kN, 24 kN, 18 kN), a K₁ és K₂ keresztmetszet; a + jel az alsó (pozitív) oldalt jelöli.

K₁ (x = 1,5 m) balról

A bal oldali erő: a 6 kN reakció

(\leftarrow):\ N_1 = 0\qquad (\uparrow):\ V_1 = +6\ \text{kN}\qquad (\curvearrowright):\ M_1 = +6\cdot 1{,}5 = +9\ \text{kNm}

K₁ jobbról — ugyanaz

A jobb oldali erők: 24 kN és 18 kN

(\rightarrow):\ N_1 = 0\qquad (\downarrow):\ V_1 = +24 - 18 = +6\ \text{kN}\qquad (\curvearrowleft):\ M_1 = -24\cdot 3{,}0 + 18\cdot 4{,}5 = +9\ \text{kNm}

K₂ (x = 3 m) balról

Csak a kar nő

(\uparrow):\ V_2 = +6\ \text{kN}\qquad (\curvearrowright):\ M_2 = +6\cdot 3{,}0 = +18\ \text{kNm}

K₂ jobbról

Ellenőrzés

(\downarrow):\ V_2 = +24 - 18 = +6\ \text{kN}\qquad (\curvearrowleft):\ M_2 = -24\cdot 1{,}5 + 18\cdot 3{,}0 = +18\ \text{kNm}

Egyik keresztmetszetből a másikba; összetett tartón négyféleképpenHincz–Németh 8.2.1–8.2.2

Ha a K keresztmetszet igénybevételeit már ismerjük, egy L keresztmetszetét a K-beliekből és a K–L közötti külső erőkből is számíthatjuk: $(N_{Lj}, V_{Lj}, M_{Lj}) \ekv (R_{KL}, N_{Kj}, V_{Kj}, M_{Kj})$ . Ebből következik: koncentrált erő két oldalán az erő vetületének megfelelő ugrás van N-ben, ill. V-ben, M azonos; koncentrált nyomaték két oldalán M ugrik, N és V azonos. Összetett tartón az egész szerkezetből vagy egyetlen testből, jobbról vagy balról — legalább négyféleképpen — számolhatunk; a gyakorlatban a legegyszerűbbet választjuk. Ökölszabályok: konzolon mindig kívülről (a reakciók nélkül); a tartóvégen a végre ható koncentrált hatásokból közvetlenül adódik az igénybevétel (gyakran nulla).

Próbáld ki – vágd el a tartót, és nézd a két részt

Felfedező

Vágd el a tartót

húzd a K keresztmetszetet

Az ábrák a vágás helyéig épülnek; a pont az aktuális K értéke.

A K keresztmetszet helyex = 2,50 m

0,00

kN · nincs

0,00

24,50

kNm · alul húzott

A bal részből, a tankönyv írásmódjával

(\leftarrow):\ N_K = 0 = 0{,}00\ \text{kN}

(\uparrow):\ V_K = - 12{,}00 - 4{,}0\cdot 2{,}50 + 22{,}00 = 0{,}00\ \text{kN}

(\curvearrowright):\ M_K = - 12{,}00\cdot 1{,}50 - 4{,}0\cdot 2{,}50\cdot 1{,}25 + 22{,}00\cdot 2{,}50 = 24{,}50\ \text{kNm}

A bal részre ható összes erő (terhek és reakciók) vetülete a ← irányra adja N-t, a ↑ irányra V-t, a K pontra írt ↷ nyomatéka M-et — a (8.5) egyenértékűség szerint. A megoszló teher K-tól balra eső részének eredője p·hossz, karja a hossz fele. Ha a K-t egy koncentrált erőre tolod, az erő a jobb részhez tartozik: a bal oldali határértéket látod.

9.4 Ferde keresztmetszet: a „virág”

Ferde tengelyű tartón a normálerőt és a nyíróerőt ferde vetületi egyenletekből számoljuk: az erőket a tengellyel párhuzamos és arra merőleges irányra vetítjük. A tankönyv 8.5.a ábrájának ferde konzolján ( $\operatorname{tg}\alpha = 3/4$ ) a K₇ keresztmetszet balról, az A befogás reakcióiból (2 kN ←, 5 kN ↓, 21 kNm ↷):

Tankönyv (8.44)–(8.46): K₇ balról — ferde vetületek, a nyomaték vízszintes és függőleges karokkal

(\swarrow):\ N_7 = +2\cos\alpha + 5\sin\alpha = +4{,}6\ \text{kN}\qquad (\nwarrow):\ V_7 = +2\sin\alpha - 5\cos\alpha = -2{,}8\ \text{kN}

(\curvearrowright):\ M_7 = +2\cdot 3{,}0 - 5\cdot 4{,}0 + 21 = +7{,}0\ \text{kNm}

5. ábraA tankönyv 8.5.a ábrájának ferde konzolja: eredményvázlat a K₇ keresztmetszettel, és a három ábra a ferde tengelyre merőlegesen felmérve — N = +4,6 kN (húzás) és M (21-től 0-ig, K₇-ben 7) a pozitív (alsó-jobb) oldalon, V = −2,8 kN a másikon.

6. ábraA ferde keresztmetszet szögei — a „virág” (8.5.b ábra): a tengely, az N és V iránya, és egy függőleges erő felbontása.

Ferde tartón a nyomatékot ne ferde karokkal számold

A nyomatéki ábrához a vízszintes és függőleges erőkomponensekből, vízszintes és függőleges karokkal könnyebb számolni (a K₇-nél: 2 kN karja 3 m, 5 kN karja 4 m). A ferde vetületek csak N-hez és V-hez kellenek. A parabola belógásának képletében az $l$ hossz a szakasz ferde hossza, a $q$ intenzitás a hossz mentén megoszló erő tengelyre merőleges komponense.

9.5 Igénybevételi függvények és ábrák

Egymástól kis távolságra levő keresztmetszetek igénybevételeiből képet kapunk az igénybevételek alakulásáról, de jobb, ha minden keresztmetszetét felírjuk: ez a tengely mentén mért $x$ koordináta függvényében az igénybevételi függvény. A tankönyv 8.8. ábrájának konzolján (jobbról, a szabad vég felől, $F$ ferde erő a végen):

Tankönyv (8.71)–(8.73): a konzol igénybevételi függvényei

(\rightarrow):\ N(x) = +F\cos\alpha\qquad (\downarrow):\ V(x) = +F\sin\alpha\qquad (\curvearrowleft):\ M(x) = -F\sin\alpha\,(l - x)

7. ábraAz igénybevételi függvények a tartó tengelyére rajzolva (tankönyv 8.9. ábra): l = 4 m, F = 10 kN, α = 30°. N és V konstans és pozitív — a tartó alatt; M lineáris és negatív — a felső (húzott) oldalon. A + és − jel minden ábrán ugyanott van.

Igénybevételi ábra

Az igénybevételi függvényt a tartó tengelyével azonos tengelyen ábrázolva kapjuk az igénybevételi ábrát (normálerő-, nyíróerő- és hajlítónyomatéki ábra). Az értéket a tartó tengelyére merőlegesen mérjük fel; a tengely pozitív oldala az, amelyet az M pozitív definíciójához választottunk — ezért a nyomatéki ábra mindig a húzott oldalra kerül. Az ábrát a tengelyre merőleges sűrű, vékony sraffozás teszi teljessé: jelzi a végeredményt és a leolvasás irányát.

Mindhárom ábrát a tartó ugyanazon pozitív oldalára rajzoljuk — arra, amelyiket a nyomaték pozitív definíciójához választottunk (vízszintes tartónál alulra). Így a pozitív N, V és M mindig a tartó alatt, a negatív fölötte van (tankönyv 8.3.2., 8.9. ábra). A számításnál használt (↑) vagy (↓) irány csak az előjelet adja — a rajz oldalát a pozitív oldal.

A függvények „szépek”, de nem célszerűek: nem látszik rajtuk a szélsőérték, és több teher esetén szakaszonként kellene felírni őket. A gyakorlatban ehelyett a teher alapján azonosítjuk az ábra jellegét szakaszonként (konstans, lineáris, parabola), és annyi értéket számolunk, amennyi a jelleghez kell: konstanshoz egyet, lineárishoz a két végpontot, parabolához a két végpontot és még egy adatot. Ehhez kellenek a differenciális összefüggések.

9.6 Differenciális összefüggések: dV/dx = −q, dM/dx = V

Tekintsünk egy $dx$ hosszú, elemien kicsiny rúddarabot. A tengelyre merőleges megoszló teher intenzitása $q(x)$ , a párhuzamosé $p(x)$ ; a bal oldali keresztmetszetben $N, V, M$ , a jobb oldaliban ezek egy-egy elemi növekménnyel. A darab egyensúlyban van:

8. ábraElemi rúdszakaszra ható erők (tankönyv 8.10. ábra). A dx-en a megoszló teher egyenletesnek tekinthető.

Tankönyv (8.74)–(8.82): a három egyensúlyi egyenletből

(\rightarrow):\ -N + p\,dx + N + dN = 0 \ \Rightarrow\ -\frac{dN}{dx} = p(x)\qquad (\uparrow):\ V - q\,dx - (V + dV) = 0 \ \Rightarrow\ \frac{dV}{dx} = -q(x)

(\curvearrowleft):\ -M - V\,dx + q\,dx\,\tfrac{dx}{2} + (M + dM) = 0 \ \Rightarrow\ \frac{dM}{dx} = V(x)\qquad\Rightarrow\qquad \frac{d^2M}{dx^2} = -q(x)

A nyomatéki egyenletet a darab végkeresztmetszetére írjuk (így $V + dV$ karja nulla), és a teherből származó $q\,dx\cdot dx/2$ tag másodrendűen kicsiny: elhagyjuk. A tanulság: a teherfüggvény a nyíróerő deriváltja, a nyíróerő a nyomaték deriváltja. (Más koordináta-elrendezésnél az előjelek máshova kerülhetnek — az arányosság a lényeg.) A kapcsolatok elsősorban a kész ábrák ellenőrzésére valók.

Következmények — ezt kell tudni fejből

Ahol V = 0, ott M-nek szélsőértéke van (a derivált nulla). A maximális nyomaték helyét a V függvényből számoljuk.
A zérus függvény a konstansnak, a konstans a lineárisnak, a lineáris a másodfokúnak a deriváltja: terheletlen szakaszon V konstans és M lineáris; egyenletes teher alatt V lineáris és M parabola.
Az M ábra meredeksége minden pontban a V értéke: ahol V pozitív, M nő; ahol V ugrik, M törik.
Egy szakasz nyomatéki ábráján a végponti érintők metszéspontja a szakaszra ható erők eredőjének hatásvonalára esik.

A teher és az ábrák jellege szakaszon belül (tankönyv táblázata)

teher a szakaszon	N ábra	V ábra	M ábra
terheletlen szakasz	konstans	konstans	lineáris (speciálisan konstans, ha V = 0)
tengelyirányú, egyenletesen megoszló erő	lineáris	konstans	lineáris (spec. konstans)
tengelyre merőleges, egyenletesen megoszló erő	konstans	lineáris	másodfokú parabola
ferde, egyenletesen megoszló erő	lineáris	lineáris	másodfokú parabola
merőleges, lineárisan változó megoszló erő	konstans	másodfokú parabola	harmadfokú parabola

Szinguláris (koncentrált) hatások alatt

koncentrált hatás	N ábra	V ábra	M ábra
tengellyel párhuzamos erő	ugrás	folytonos	folytonos
tengelyre merőleges erő	folytonos	ugrás (az erő értékével)	törés (a konvex oldal az erő nyila felé)
ferde erő	ugrás	ugrás	törés
koncentrált nyomaték	folytonos	folytonos	ugrás (a nyomaték értékével), az érintő azonos

Szakaszhatár tehát: a megoszló teher kezdete, vége és intenzitás-változása, a tartótengely vége, töréspontja, elágazási pontja, és minden keresztmetszet, ahol szinguláris teher (koncentrált erő vagy nyomaték — a támaszok reakciója is!) hat. A támaszoknál a reakció úgy viselkedik, mint egy koncentrált erő.

Koncentrált erő: V ugrik, M törik

Egyenletes teher: V lineáris, M parabola

Koncentrált nyomaték: V folytonos, M ugrik

9. ábraHárom mintapélda a számítómagból: koncentrált erő (V ugrik, M törik), egyenletes teher (V lineáris, M parabola), koncentrált nyomaték (V folytonos, M ugrik).

Próbáld ki – állítsd a terhet, figyeld a V és M alakját

Felfedező

q → V → M: a differenciális összefüggések élőben

kéttámaszú tartó, L = 8 m

A bekarikázott pontok: ahol V = 0, ott az M-nek szélsőértéke van (dM/dx = V).

Egyenletes teher, p5,0 kN/mKoncentrált erő, F20 kNaz F helye, a3,00 mKoncentrált nyomaték, M₀ (↶ pozitív)0 kNmaz M₀ helye, b6,00 m

Szakaszok és jellegük

szakasz	teher	V	M
0–3 m	p = 5,0	lineáris	másodfokú parabola
3–8 m	p = 5,0	lineáris	másodfokú parabola

Szélsőértékek

A V ábra a tartó belsejében nem megy át a nullán — az M szélsőértéke a végén vagy egy ugrásnál/törésnél van.

A legnagyobb nyomaték: 75,00 kNm az x = 3,00 m helyen (alul húzott).

Egyenletes teher: a V meredeksége −p, az M parabola (belógása pl²/8 a húrhoz képest).
Koncentrált erő: V ugrik F-fel, M törik (ugrás nincs).
Koncentrált nyomaték: M ugrik M₀-lal, V nem változik — a két oldali érintő azonos.

A parabola megrajzolása: ql²/8

Egyenletesen megoszló teher alatt a nyomatéki ábra parabola. Két végpontját kiszámoljuk, és a végpontokat összekötő egyeneshez képest térítjük el a görbét — a másodfokú parabola belógása (a tankönyv a fontossága miatt nagy betűvel írja):

A parabola belógása a húrhoz képest — nyomaték mértékegységű

\frac{q\,l^2}{8}

q:\ \text{a teher tengelyre merőleges komponense},\quad l:\ \text{a szakasz (ferde) hossza}

10. ábraA parabola szerkesztése: húr a két végponti nyomaték között, a felezőpontból a teher irányába ql²/8 → a parabola középső pontja (érintője a húrral párhuzamos); még egy ql²/8 lejjebb a végponti érintők metszéspontja.

A kifeszített gumikötél és a pontok sűrítéseHincz–Németh 8.3.3

A teher és a nyomatéki ábra kapcsolatát úgy is ellenőrizheted, hogy képzeletben egy kifeszített gumikötélre működteted a tartó terheit: a kötél alakja a nyomatéki ábráé — terheletlen szakaszon egyenes, koncentrált erő alatt törés, megoszló erő alatt görbül. Ha több pont kell a parabolához: felezd meg az érintők metszéspontja és a parabolapontok közötti szakaszokat, az így kapott két pontot összekötő szakasz felezőpontja újabb parabolapont, a szakasz pedig ottani érintő. A kiszámított értékeket az ábra mellé írjuk és sorszámozzuk ( $M_2$ : balról a második).

Próbáld ki – hol kezdődik új szakasz?

Felfedező

Szakaszoló — hol kezdődik új szakasz?

kattints a tartóra (0,5 m-es rács)

Kattints oda, ahol az N, V vagy M ábra jellege megváltozhat (ismételt kattintás töröl). A tartó két vége nem számít.

Szakaszhatár ott van, ahol a teher jellege megváltozik: koncentrált erő vagy nyomaték támadáspontja (a támaszok reakciója is az!), a megoszló teher kezdete és vége, belső csukló, a tengely törése vagy elágazása.

Jelölt határok: még nincs.

9.7 Tippek, trükkök, technikák tartótípusonként

Konzoltartó (8.4.1)

Bármely igénybevétel kívülről, a nem megtámasztott vég felől, a reakcióktól függetlenül számolható. Az ábrát is kívülről kezdve rajzoljuk, pontonként és szakaszonként — így akár a terhek nagyságától független, alakhelyes ábrák is rajzolhatók. Bal oldalán befogott konzolon jobbról, jobb oldalán befogotton balról, alul befogott oszlopon felülről számolunk; a végén a befogásnál levő igénybevételekből a reakciók kiolvashatók.

11. ábraKonzolon a szabad vég felől haladunk; a befogásnál az ábrák végértékei a reakciók.

Kéttámaszú tartó (8.4.2)

tartóvégek

Mi van a végkeresztmetszetben?

A tartóvégen az igénybevételt az ottani koncentrált hatásokból számoljuk: ha nem hat koncentrált erő, N és V nulla; ha nem hat koncentrált nyomaték, M nulla. Ha hat (akár egy támasz reakciója), a megfelelő ábra végértéke nem nulla.

haladás

Egy irányból, ugyanarról az oldalról

A reakciók után az egyik végről indulunk, és a másik felé haladva mindig ugyanarról az oldalról számolunk: mindig csak egy hatással kell többet figyelembe venni, a karokat módosítani. A másik végen a túloldalról ellenőrzünk.

konzolos

Konzolosan túlnyúló tartó

A konzolon kívülről számolunk, az „egy irányból végig” elvet csak a két támasz között követjük, és a támasznál ellenőrizzük a találkozást. Ha a támaszköz egyetlen terheletlen szakasz, a lineáris M két végpontja már ismert a konzolokból.

ellenőrzés

Amit ránézésre látni kell

Támasznál V ugrik a reakcióval, M törik; belső csuklónál M = 0; szabad végen minden nulla; V = 0 alatt M-csúcs; koncentrált nyomatéknál M ugrik pontosan a nyomaték értékével.

Ferde tengelyű tartószakasz (8.4.3)

A tengelyhez képest a függőleges erők is ferdék, és a megoszló teher megoszlási módja (hossz vagy vetület mentén) pontosan kezelendő. N és V a ferde vetületi egyenletekből, M inkább a vízszintes és függőleges komponensekből. A parabola belógásában $l$ a ferde hossz, $q$ a merőleges komponens — esetleg szögfüggvénnyel átváltva.

Próbáld ki – döntsd meg a tartót

Felfedező

Ferde tengelyű tartó — a teher komponensekre bomlik

L = 5 m, p = 4 kN/m függőleges

Dőlésszög, α30 °

R = 4{,}00\cdot 5 = 20{,}00\ \text{kN},\quad A_y = B = 10{,}00\ \text{kN},\quad A_x = 0

N(0) = -A_y\sin\alpha = -5{,}00,\qquad V(0) = +A_y\cos\alpha = 8{,}66\ \text{kN}

M_{\max} = \frac{(p\cos\alpha)\,L^2}{8} = \frac{3{,}46\cdot 25}{8} = 10{,}83\ \text{kNm}

A függőleges reakció a ferde tengelyre nézve is ferde: az $A_y$ egy része nyomja a rudat (N), a másik nyírja (V). A normálerő lineárisan változik (a tengelyirányú komponens miatt), a nyíróerő is lineáris, az M parabola — a belógás képletében L a ferde hossz, p pedig a merőleges komponens.

Tört tengelyű tartó sarka (8.4.3)

A törésnél megváltozik a normálerő és a nyíróerő iránya, ezért a törés mindig szakaszhatár. A törésből két irányba kiinduló tartócsonkoknak egyensúlyban kell lenniük: a két csonk N-jei és V-i (meg a sarokra ható esetleges koncentrált erő) teljesítik a vetületi egyenleteket — derékszögű saroknál az egyik csonk N-je a másik V-je. A nyomatékok egyensúlyából (ha a sarkon nem hat koncentrált nyomaték) a két csonk hajlítónyomatéka azonos nagyságú, és egymással ellentétesen forgat. A nyomatéki ábra a húzott oldalra kerül, ezért a sarok két oldalán ugyanazon az oldalon van: befordul a sarkon.

L konzol: vízszintes + függőleges erő

Keret: vízszintes erő a sarkon

Ferde + vízszintes szakasz, erő a gerendán

12. ábraNyomatéki ábra a sarokban (tankönyv 8.11. ábra nyomán), három szerkezeten a számítómagból (L konzol; keret vízszintes erővel a sarkon; ferde + vízszintes szakasz): a sarok két oldalán az ábra ugyanazon az oldalon marad, és az érték átmegy (18, 12, 6 kNm).

13. ábraA sarok két csonkjára ható nyomatékok: egyenlő nagyság, ellentétes forgatás; a nyilat mindkettőnél a húzott (konvex vagy konkáv) oldalról indítjuk.

Elágazásos tartó (8.4.4)

Az elágazás minden kapcsolódó szakasznak határa. Ahol lehet, a távolabbi vég felől számolunk; a csomópontot az értékek ellenőrzésére vagy az utolsó érték kiszámítására használjuk. A csonkot kinagyítva minden ágra felrajzoljuk a leolvasott nyomatékot — a nyilat arról az oldalról indítjuk, ahol az ábra van, a csomóponthoz képest kívülről —, és felírjuk a nyomatékok egyensúlyi egyenletét az előjeleket szemléletből (a nyilak irányából) véve.

14. ábraNyomatéki ábra egyensúlya az elágazásban (tankönyv 8.12. ábra nyomán): a nyilak irányából, ↷ pozitívnak véve +|M₁| − |M₂| − |M₃| = 0, azaz 16 − 10 − 6 = 0.

Összetett tartó és Gerber-tartó (8.4.5–8.4.6)

Összetett szerkezeten bármely, a keresztmetszetet tartalmazó szerkezeti résszel számolhatunk, ha a rá ható belső reakciókat is figyelembe vesszük. A belső csuklós kapcsolatnál a reakciókból közvetlenül adódik N és V, a hajlítónyomaték pedig a belső csuklónál nulla (kivéve, ha közvetlenül a csukló melletti keresztmetszetben koncentrált nyomaték hat). Gerber-tartón előbb a befüggesztett részt, majd a fix rész szakaszait számoljuk, de az ábrákat közös rajzba tesszük: azonos lépték mellett a csuklónál az ábrák folytonosan csatlakoznak, és az M ábra éppen a csuklón megy át.

15. ábraA tankönyv 8.7. ábrájának Gerber-tartója (p = 6 kN/m; reakciók 36,75, 58,05 és 1,2 kN): a V ábra a csuklónál folytonos, az M ábra a G csuklón átmegy — részletesen a GYF‑7-ben.

Itt és a gyakorlaton	A tankönyvben	Megjegyzés
belső erők, igénybevételek	igénybevétel: N, V, M	A keresztmetszet síkjára merőleges (N), síkjába eső (V) erő és a hajlítónyomaték (M).
nyíróerő $V$	V (az irodalomban T, Q)	Vertikális; Querkraft = tengelyre merőleges erő.
pozitív oldal, húzott oldal	a tengely pozitív oldala; az M ábra a húzott oldalra kerül	Vízszintes rúdnál alul; a + jelet az ábrán feltüntetjük. Az N és a V ábra pozitív értékei is erre az oldalra kerülnek.
a másik oldal erőinek redukálása	$(N_{Kb}, V_{Kb}, M_{Kb}) \ekv (F_j, R_j)$	Az egyik oldal igénybevételei egyenértékűek a másik oldal összes erejével.
(←), (↑), (↷) írásmód	a pozitív irány zárójelben az egyenlet előtt	Nincs átrendezés: az egyenlet egyik oldalán csak az igénybevétel.
szakaszhatár, töréspont	szinguláris teher, szakaszok jellege (fokszáma)	Koncentrált erő/nyomaték, megoszló teher határa, támasz, csukló, sarok.
belógás	$ql^2/8$	A parabola eltérése a húrtól a szakasz közepén; nyomaték mértékegységű.
alakhelyes ábra	alakhelyes igénybevételi ábra	A terhek nagyságától függetlenül helyes jelleg (fokszám, törés, ugrás, érintő) — a H09–H12 feladatok ezt kérik.

A leggyakoribb hibák az igénybevételi ábrákban

Az M ábra a rossz oldalon. A nyomatéki ábra a húzott oldalra kerül: kéttámaszú tartó lefelé ható teherrel → alul; konzol lefelé ható teherrel → felül (a befogásnál).
Az N és a V ábra a másik oldalon. Mindhárom ábra ugyanarra a pozitív oldalra kerül: vízszintes tartónál a pozitív N és V is alulra (mint a pozitív M), a negatív felülre — a „(↑) pozitív” csak a számítás előjelszabálya, nem a rajz oldala.
A maximum az erő alatt. Egyenletes teherrel a nyomaték maximuma ott van, ahol V = 0 — ezt ki kell számolni, nem az F alá vagy a tartó közepére tenni.
Ugrás az M-ben koncentrált erőnél. Koncentrált erő az M ábrában csak törést ad; ugrást csak koncentrált nyomaték.
Kihagyott támasz. A reakció koncentrált erő: V ugrik, M törik, a támasz szakaszhatár.
Csuklóban nem nulla M. Belső csuklónál M = 0 (kivéve koncentrált nyomaték közvetlenül mellette); ha az ábra nem megy át a csuklón, a reakciók rosszak.
Sarok. A nyomaték átmegy a sarkon (azonos érték, ugyanazon az oldalon), N és V szerepet cserél.

2. rész

Kidolgozott feladatok

Nyolc feladat a tankönyv példáiból, a H09–H12 feladatsorokból és a vizsgamintából. A recept mindig ugyanaz: reakciók (röviden) → szakaszok → szakaszonként N, V, M → töréspontok és szélsőértékek → ábrák → ellenőrzés. Az ábrákat a számítómag egzaktan rajzolja — a feladatod, hogy fejben is ugyanoda juss.

GYF‑1

Befogott konzol ferde erővel — kívülről számolva

⏱ 6 percH09 szintemelő, 1. feladat

Feladat

A bal végén befogott, $3a$ hosszú konzolt az $x = a$ helyen a vízszintessel $\alpha$ szöget bezáró, jobbra-lefelé mutató $F_1$ , a szabad végén a függőleges $F_2$ erő terheli. Rajzold meg az alakhelyes igénybevételi ábrákat a jellemző értékekkel! $a = 2\ \text{m},\ F_1 = 10\ \text{kN},\ \alpha = 30^\circ,\ F_2 = 5\ \text{kN}$ .

A feladat rajza (H09/1). Az F₁ komponensei: 10·cos 30° = 8,660 kN jobbra és 10·sin 30° = 5,000 kN lefelé.

Megoldás

0 / 6 lépés

Előbb próbáld meg magad! Ha elakadtál, tárd fel a megoldást lépésenként.

Ugyanez filmen – a keresztmetszet vándorol, az ábrák épülnek

FilmGYF‑1 · Befogott konzol — a keresztmetszet vándorol, az ábrák épülnek7 fejezet · 33 s

A K keresztmetszet balról jobbra vándorol, alatta épülnek az ábrák; az első ábra címsorában az aktuális x, N, V, M. A szaggatott függőleges vonalak a szakaszhatárok, a gyűrűk a töréspontok. A számítás jobbról (kívülről) megy, a rajz balról épül — a kettő ugyanoda vezet.

GYF‑2

Kéttámaszú tartó koncentrált és megoszló teherrel — a maximum ott, ahol V = 0

⏱ 8 percTankönyv 8.4.a ábra nyomán, megoszló teherrel

Feladat

$L = 6$ m-es kéttámaszú tartó (csukló A-ban, görgő B-ben). Az $x = 1$ m-nél $F = 12$ kN koncentrált erő, a teljes hosszon $p = 4$ kN/m egyenletes teher. Rajzold meg a V és M ábrát, számítsd ki a legnagyobb nyomatékot!

A feladat rajza. A megoszló teher eredője 24 kN a tartó közepén.

Megoldás

0 / 6 lépés

Előbb próbáld meg magad! Ha elakadtál, tárd fel a megoldást lépésenként.

Ugyanez filmen – V lineáris, M parabola, a maximum a V = 0 helyen

FilmGYF‑2 · Kéttámaszú tartó — V lineáris, M parabola, a maximum ott, ahol V = 08 fejezet · 34 s

Vízszintes tartón csak függőleges terhekkel N = 0, ezért csak a V és M ábrát rajzoljuk. A pozitív V-t is a tartó alá mérjük fel, mint a pozitív M-et (tankönyv 8.9. ábra); a „(↑) pozitív” csak a számítás előjelszabálya.

GYF‑3

Konzolos kéttámaszú tartó — a konzolokon kívülről, a támaszközön belülről

⏱ 8 percH09 szintemelő, 3. feladat (a reakciók: 5. modul GYF‑2)

Feladat

A $4a$ hosszú gerendát az $x = a$ helyen csukló (A), az $x = 3a$ helyen görgő (B) támasztja. A bal végén a vízszintessel $\alpha$ szöget bezáró, balra-lefelé mutató $F_1$ , a jobb végén a függőleges $F_2$ hat. Rajzold meg az igénybevételi ábrákat! $a = 1{,}5\ \text{m},\ F_1 = 12\ \text{kN},\ \alpha = 30^\circ,\ F_2 = 8\ \text{kN}$ .

A feladat rajza (H09/3): mindkét vég túlnyúlik a támaszokon. F₁ komponensei 10,39 kN balra és 6 kN lefelé.

Megoldás

0 / 7 lépés

Előbb próbáld meg magad! Ha elakadtál, tárd fel a megoldást lépésenként.

GYF‑4

Megoszló teher és koncentrált nyomaték — ugrás az M ábrában

⏱ 9 percH09 szintemelő, 4. feladat

Feladat

A $4a$ hosszú tartót az $x = a$ helyen csukló (A), az $x = 3a$ helyen görgő (B) támasztja. A bal végétől $2a$ hosszon $p$ egyenletes teher, a jobb végén $M$ koncentrált nyomaték hat az óramutató járásával egyezően. Rajzold meg az ábrákat! $a = 2\ \text{m},\ p = 4\ \text{kN/m},\ M = 8\ \text{kNm}$ .

A feladat rajza. A teher eredője 16 kN az x = 2 m-nél — éppen az A támasz fölött.

Megoldás

0 / 6 lépés

Előbb próbáld meg magad! Ha elakadtál, tárd fel a megoldást lépésenként.

Ugyanez filmen – parabola, egyenes, ugrás a nyomatéknál

FilmGYF‑4 · Megoszló teher és koncentrált nyomaték — ugrás az M ábrában9 fejezet · 35 s

A koncentrált nyomaték helyén az M ábra ugrik, de a V ábra nem — a két oldali érintő azonos. A jobb konzolon V = 0, ezért M konstans. A pozitív V és M a tartó alatt, a negatív fölötte.

GYF‑5

Ferde tengelyű tartó — a teher tengelyirányú és merőleges komponense

⏱ 8 percTankönyv 8.4.3 és 8.5. ábra nyomán

Feladat

Ferde gerenda: A csukló a $(0;0)$ , B vízszintes síkon gördülő görgő a $(4;3)$ m pontban (hossza $L = 5$ m, $\operatorname{tg}\alpha = 3/4$ ). A ferde hossz méterére $p = 4$ kN/m függőleges teher hat. Rajzold meg az N, V, M ábrát!

A feladat rajza: a teher a ferde hossz mentén egyenletes, eredője pL = 20 kN a rúd közepén.

Megoldás

0 / 5 lépés

Előbb próbáld meg magad! Ha elakadtál, tárd fel a megoldást lépésenként.

GYF‑6

Tört tengelyű konzol — a sarokban N és V szerepet cserél, M átmegy

⏱ 8 percVizsgaminta, 2. feladat

Feladat

Alul befogott, 4 m magas oszlop, tetején 3 m-es vízszintes kar; a karon $p = 3$ kN/m felfelé mutató teher. Határozd meg az igénybevételi ábrákat!

A vizsgaminta 2. feladatának rajza. A teher eredője 9 kN felfelé, a kar közepén.

Megoldás

0 / 6 lépés

Előbb próbáld meg magad! Ha elakadtál, tárd fel a megoldást lépésenként.

Ugyanez filmen – az oszloptól a karig, a sarok szerepcseréje

FilmGYF‑6 · Tört tengelyű konzol — N és V szerepet cserél, M átmegy a sarkon7 fejezet · 34 s

A rajz a befogástól indulva építi az ábrákat (előbb az oszlop, aztán a kar), a szöveg viszont a konzol-recept szerint kívülről számol — a kettő ugyanoda vezet. Az ábra címsorában a K helye: melyik rúdon, a rúd kezdetétől mérve.

GYF‑7

Gerber-tartó — előbb a befüggesztett rész, a csuklóban M = 0

⏱ 12 percTankönyv 8.7. ábra

Feladat

16 m hosszú Gerber-tartó, végig $p = 6$ kN/m teherrel. Támaszok: csukló A az $x = 3$ , görgő B az $x = 11$ , görgő C az $x = 16$ m-nél; belső csukló G az $x = 7$ m-nél. Számítsd ki a reakciókat, és rajzold meg a V és M ábrát!

A tankönyv 8.7.a ábrája: a bal test E–G (konzol E–A, csukló A, belső csukló G), a jobb test G–C (görgők B és C).

Megoldás

0 / 6 lépés

Előbb próbáld meg magad! Ha elakadtál, tárd fel a megoldást lépésenként.

GYF‑8

Háromcsuklós tartó — ferde rudak, csuklóban M = 0, a normálerő nem nulla

⏱ 12 percVizsgaminta, 4. feladat

Feladat

Háromcsuklós tartó: A csukló $(0;0)$ , C belső csukló $(5;2)$ , B csukló $(10;0)$ m. A bal rúdon a vízszintes vetület méterére $2$ kN/m, a jobbon $4$ kN/m függőleges teher. Határozd meg a reakciókat, és rajzold meg az igénybevételi ábrákat!

A vizsgaminta 4. feladatának rajza: 2, ill. 4 kN/m a vízszintes vetület méterére (a ferde hossz méterére ez 2·cos α = 1,86 és 4·cos α = 3,71 kN/m). A terhek eredője 10 kN (x = 2,5) és 20 kN (x = 7,5).

Megoldás

0 / 6 lépés

Előbb próbáld meg magad! Ha elakadtál, tárd fel a megoldást lépésenként.

3. rész

Kalkulátorok

Az Ábrakalkulátor tetszőleges egyszerű és összetett tartó N, V, M ábráját rajzolja a reakciók levezetésével; a keresztmetszet-kalkulátor egyetlen K keresztmetszet igénybevételeit vezeti le a bal részből, a tankönyv írásmódjával.

Ábrakalkulátor — reakciók, N, V, M ábrák, metszet-csúszka

Válassz sablont (kéttámaszú, konzol, konzolos, Gerber, keret, …), állítsd a paramétereket, és nézd az ábrákat élőben; a metszet-csúszkával bármely keresztmetszet értékei leolvashatók, a levezetés a tankönyv receptje szerint épül fel. Teljes képernyőn, több sablonnal: Ábrakalkulátor →

Kalkulátor

Igénybevételi ábrák

statikailag határozott · egyensúly ✓

A nyomatéki ábrát a húzott oldalra rajzoljuk (vízszintes tartónál a pozitív érték alul), ahogy a gyakorlaton is.

Csukló és görgő, egy koncentrált erő és egy egyenletes teher.

Fesztáv, L8,0 mKoncentrált erő, F20 kNaz F helye, a3,0 mMegoszló teher, p5,0 kN/m

Metszet

0,00

18,50

71,40

kNm

Reakciók

Hely	Vízsz.	Függ.	Nyomaték
Acsukló	0,00	32,50	–
Bgörgő	0,00	27,50	–

Szélsőértékek

A tartóM: 0,00 … 75,00 kNm · V: -27,50 … 32,50 kN

Ellenőrzés: $\sum F_x$ = 0,000000, $\sum F_y$ = 0,000000, $\sum M$ = 0,000000 — a terhek és a reakciók egyensúlyi erőrendszert alkotnak.

Igénybevétel egy adott keresztmetszetben

Add meg a tartót és az $x$ helyet: a program a K-tól balra eső rész egyensúlyából írja fel az $N_K, V_K, M_K$ egyenleteket ( $\Fx$ , $\Fy$ , $\Mp{K}$ ), majd ugyanezt a tankönyv rövid $(\leftarrow), (\uparrow), (\curvearrowright)$ írásmódjával — pont úgy, ahogy a gyakorlaton kérik.

Kalkulátor

Igénybevétel egy adott keresztmetszetben

a bal részből, levezetéssel

A szaggatott vonal a K keresztmetszet; a pontok az ábrákon a K-beli értékek.

Csukló és görgő, egy koncentrált erő és egy egyenletes teher.

Fesztáv, L8,0 mKoncentrált erő, F20 kNaz F helye, a3,0 mMegoszló teher, p5,0 kN/mA K keresztmetszet helye, x (a bal végtől)2,50 m

N_K

0,00

V_K

20,00

M_K

65,63

kNm

Levezetés — a K-tól balra eső rész egyensúlyából

Elkülönítés. A tartót elvágjuk a K keresztmetszetben (x = 2,50 m), és a bal részt vizsgáljuk. Rá hat: p = 5,0 kN/m a 2,50 m hosszon (eredője 12,50 kN, a K-tól 1,25 m-re), a 32,50 kN reakció (Ay) az x = 0,00 m-nél, és a keresztmetszeten a pozitív értelemben felvett N_K (→), V_K (↓) és M_K (↶) belső erők.

Egyensúlyi kijelentés.

(\underline{p}, \underline{A_{y}}, \underline{N}_K, \underline{V}_K, M_K) \ekv \underline{O}

Egyismeretlenes egyenletek. Vízszintes vetület (a bal rész vízszintes erői + a jobbra mutató, pozitív N_K):

\Fx N_K = 0 \ \Rightarrow\ N_K = 0{,}00\ \text{kN}

Függőleges vetület (a pozitív V_K a bal rész keresztmetszetén lefelé mutat, ezért −V_K):

\Fy - 5{,}0\cdot 2{,}50 + 32{,}50 - V_K = 0 \ \Rightarrow\ V_K = 20{,}00\ \text{kN}

Nyomaték a K pontra (a pozitív M_K a bal részen ↶; a K-n átmenő N_K, V_K karja nulla):

\Mp{K} 5{,}0\cdot 2{,}50\cdot 1{,}25 - 32{,}50\cdot 2{,}50 + M_K = 0 \ \Rightarrow\ M_K = 65{,}63\ \text{kNm}

Ugyanez a tankönyv rövid írásmódjával — a bal oldali erők vetülete a megadott irányra közvetlenül az igénybevételt adja:

(\leftarrow):\ N_K = 0 = 0{,}00\ \text{kN}

(\uparrow):\ V_K = - 5{,}0\cdot 2{,}50 + 32{,}50 = 20{,}00\ \text{kN}

(\curvearrowright):\ M_K = - 5{,}0\cdot 2{,}50\cdot 1{,}25 + 32{,}50\cdot 2{,}50 = 65{,}63\ \text{kNm}

Értelmezés: $N_K$ nulla; $M_K$ pozitív: az alsó oldal húzott. A jobb részből számolva ugyanezt kell kapni — próbáld ki fejben ellenőrzésnek.

4. rész

Gyakorlás

Ábrarajzoló játék, alakhelyesség-kvíz, számolós generátorok, fogalmi kvíz és hibakereső — a vizsga 2. és 4. feladatára készülve, minden indításkor új számokkal.

A vizsgán az igénybevételi ábrák „egyben” érnek pontot: a helyes N, V és M ábra, alakhelyesen, a jellemző értékekkel. Ezért itt a sorrend: előbb rajzolj (a program adja a töréspontokat, te az értékeket és az alakot), aztán ismerd fel a hibás ábrákat, majd számolj — végül a fogalmak és a tipikus hibák.

Rajzold meg te — az ábrarajzoló játék

Játék

Rajzold meg a V és az M ábrát!

1 / 5. kör0 pont

Öt kör, körönként egy véletlen tartó. A program megadja a töréspontokat, te a fogópontokkal beállítod az értékeket és a szakaszok alakját — ellenőrzéskor a pontos ábra ráúszik a tiédre.

Alakhelyesség — melyik ábra a helyes?

Számolós gyakorlás — a feladatlapok (H09–H12) típusai

További feladattípusok

Az ötlet — fogalmi kvíz

KvízÉrted, vagy csak rajzolod?

Tíz véletlen kérdés az előjelekről, a differenciális összefüggésekről, a töréspont-szabályokról és a tankönyv 8.4 trükkjeiről.

Kérdések betöltése…

Hibakereső — találd meg a hibát

HibakeresőA nyíróerő előjele a bal támasznál1 / 7

Az alábbi megoldás egy helyen hibás. Kattints arra a lépésre, ahol a hiba van!

Kéttámaszú tartó,

L = 6\ \text{m}

, az

x = 2

m helyen

F = 12\ \text{kN}

lefelé. Rajzoljuk meg a

V

ábrát.

Mikor mehetsz tovább — és mi jön ezután

Akkor vagy kész ezzel a modullal, ha egy konzol és egy kéttámaszú tartó (megoszló teherrel, koncentrált erővel és nyomatékkal) N, V, M ábráját segítség nélkül, alakhelyesen és a jellemző értékekkel meg tudod rajzolni, tudod, hol van a nyomaték maximuma, és egy tört tengelyű vagy Gerber-tartón is átviszed a nyomatékot a sarkon, illetve nullázod a csuklóban. A 10. modulban ugyanezek a belső erők térben jelennek meg: egy térbeli tartó keresztmetszetén már hat igénybevétel van (normálerő, két nyíróerő, csavarónyomaték és két hajlítónyomaték) — és a reakciókat is hat egyenletből számoljuk.