Statika, lépésről lépésre

Az egész félév egy helyen: az erőktől és erőrendszerektől a tartók reakcióin, a rácsos tartókon és az igénybevételi ábrákon át a térbeli szerkezetekig. Mozgatható ábrákkal magyarázott elmélet, a gyakorlat és a tankönyv feladatai lépésenként kidolgozva és filmen, kalkulátorok a számoláshoz, játékok a szemnek és végtelen sok gyakorlófeladat, minden indításkor új számokkal.

Kezdés az 1. modullal →Heti útvonal Hogyan használd?

Bevezetés

Útmutató ehhez az anyaghoz

Az oldal a Statika tárgy teljes félévét kíséri végig, a tankönyv (Hincz–Németh: Statika) fejezeteinek sorrendjében, modulokra bontva. Minden modul ugyanazt a négy lépést járja végig, és mindegyikhez tartozik egy játék meg egy fogalmi kvíz is. A sorrend nem véletlen: a megértés az ábráknál kezdődik, és csak a gyakorlásnál rögzül. Ha nem tudod, hol tarts, az Útvonal oldal hetekre bontva megmondja, mit olvass, mit nézz meg és mit gyakorolj.

Elmélet

Rövid, ábrás magyarázat. A legtöbb ábrát meg tudod mozgatni: húzd a nyilakat, állítsd a csúszkákat, és nézd, mi változik.

Kidolgozott feladatok

A gyakorlat, a szintemelő feladatsorok és a tankönyv feladatai lépésenként feltárható megoldással és animált filmmel. Először próbáld meg magad, és csak utána nyisd ki a lépéseket.

Kalkulátor

Ugyanaz a számítás tetszőleges adatokkal. Arra jó, hogy a saját házi feladatod eredményét ellenőrizd, vagy ráérezz az összefüggésekre.

Gyakorlás

Véletlen számokkal generált feladatok azonnali javítással, a modul végén játék és kvíz. Addig nyomd az „új feladat” gombot, amíg magabiztos nem leszel.

Hogyan tanulj ebből

A statika nem képletgyűjtemény, hanem néhány gondolat sokszori alkalmazása. Ha egy feladatnál elakadsz, ne a képletet keresd, hanem azt kérdezd meg magadtól: mit is akarok kiszámolni, és milyen egyensúlyi vagy egyenértékűségi kijelentést tudok felírni? A kidolgozott feladatokban ez mindig az első lépés.

A levezetések a tankönyv (Hincz–Németh: Statika) írásmódját követik: a vetületi és nyomatéki egyenletek elején ott áll az egyenlet jellege és a pozitív irány, a helyettesítés pedig egy egyenértékűségi kijelentéssel indul. Ahol a gyakorlat jelölése eltér a könyvétől, lila „A tankönyvben így” doboz mutatja a párját. Minden modul végén játék és kvíz vár — az eredményeidet a kezdőlap modulkártyái és az Útvonal oldal mutatják.

A félév végére mind az öt vizsgafeladat-típust gyakorolhatod itt: erőrendszer eredője, egyszerű tartó igénybevételi ábrái, rácsos tartó rúderői, összetett tartó reakciói és ábrái, térbeli feladat. A még hiányzó modulok „hamarosan” jelzéssel szerepelnek, és a tankönyv megfelelő fejezetére mutatnak.

Alapok

Jelölésrendszer

Ezeket a jelöléseket használjuk végig az egész anyagban, ugyanúgy, ahogy a tankönyv és a gyakorlat.

Jelölés	Jelentés	Megjegyzés
$\underline{F}$	Erővektor	Aláhúzással jelöljük, hogy vektorról van szó.
$F$	Az erő nagysága	Aláhúzás nélkül mindig skalár, sosem negatív.
$F_x,\ F_y,\ F_z$	Az erő komponensei	Előjeles számok: a tengely iránya dönti el.
$\alpha$	Irányszög	Az x tengelytől az óramutatóval ellentétesen mérve.
$\underline{R}$	Eredő	Az egész erőrendszert helyettesíti.
$M^{(P)}$	Nyomaték a P pontra	Síkban előjeles skalár, térben vektor.
$(\underline{F}_1,\ \underline{F}_2) \ekv \underline{R}$	Egyenértékűségi kijelentés	„Az erőrendszer helyettesíthető az eredővel.” Ez kijelentés, nem egyenlet: a ≐ jel két erőrendszer azonos hatását állítja, nem két szám egyenlőségét.
$(\underline{F}_1,\ \underline{F}_2,\ \underline{F}_3) \ekv \underline{O}$	Egyensúlyi kijelentés	Az erőrendszer a zérusrendszerrel egyenértékű: eredője nincs, egyensúlyban van.
$\Fx \ldots = R_x$	Vetületi egyenlet	A sor elején az egyenlet jellege és a pozitív irány (→, ↑). Az egyenértékűségi kijelentésből következik.
$\Mp{O} \ldots = M^{(O)}$	Nyomatéki egyenlet az O pontra	A ↶ jelzi, hogy az óramutatóval ellentétes forgatás a pozitív. Egyensúlynál a jobb oldal 0.
$p$	Megoszló teher intenzitása	Mértékegysége kN/m.

A leggyakoribb félreértés

Az $F$ nagyság és az $F_x$ komponens két külön dolog. A nagyság mindig pozitív, a komponens viszont lehet negatív is — az mondja meg, hogy a tengely iránya szerint merre mutat. Ha egy feladatban azt kapod, hogy $F_x = -86{,}04\ \text{N}$ , az nem hiba: azt jelenti, hogy az erő balra mutat.

A tankönyv jelölései és az oldaléHincz–Németh 2.4, 3.1–3.3

A könyv nyomtatásban vastag dőlt betűvel írja a vektort, kézírásban aláhúzással — mi mindenhol az aláhúzást használjuk, mert a zh-n is azt fogod írni. Néhány jelölés, ami máshogy néz ki a könyvben és itt:

Itt és a gyakorlaton	A tankönyvben	Megjegyzés
$\underline{F}$	F (vastag dőlt) vagy $\underline{F}$	Nyomtatásban vastag, kézírásban aláhúzott — ugyanaz a vektor.
$M^{(P)}$	$M_P$	Nyomaték a P pontra. A könyv alsó indexbe teszi a pontot.
$k$	$x_R$	Az eredő hatásvonalának helye párhuzamos erőknél, megoszló tehernél.
$p$	$q$	A megoszló teher intenzitása (kN/m).
„erőrendszer”	$\mathcal{F} = (\underline{F}_1, \underline{F}_2, \ldots)$	A könyv kalligrafikus 𝓕-fel jelöli az erőrendszert mint halmazt.
$\Fx$	$\Fx$	Ugyanaz: a könyv írásmódját vettük át a vetületi és nyomatéki egyenleteknél.

Alapok

Koordináta-rendszer

A statikában két elrendezéssel fogsz találkozni, és fontos, hogy mindig tudd, éppen melyikben dolgozol.

Síkbeli feladatok

x jobbra, y felfelé

Ezt használjuk erőrendszereknél, vektorműveleteknél. A szögeket az x tengelytől az óramutató járásával ellentétesen mérjük, a pozitív nyomaték ebben a rendszerben az óramutatóval ellentétes forgatás.

Tartók, igénybevételek

x jobbra, z lefelé

Tartóknál a z tengely lefelé mutat, mert a terhek túlnyomó része lefelé hat — így a gyakori terhelés pozitív előjelet kap. A megoszló erőknél már ezt fogod látni.

Jobbkezes koordináta-rendszer

Térben három tengelyünk van, és a sorrendjük számít. A tankönyv „koordináta-akrobatikája”: a jobb kezed hüvelykujja az x, a tenyér síkjában kinyújtott mutatóujjad az y, a tenyérre merőlegesen behajlított középső ujjad a z tengely. A kézfej megfelelő csavargatásával bármelyik tengelykeresztre rá tudod illeszteni — és ha nem megy, akkor az a tengelykereszt balkezes.

Ebből következik: ha az előtted lévő papírlapon az x jobbra, az y felfelé mutat, akkor a z a lapból kifelé, feléd mutat. Ha az x balra, az y feléd mutat, akkor a z felfelé.

A jobbkezesség a forgatási értelemben is megjelenik. A forgatás mindig egy tengely körül történik, és a másik két tengelyt azok síkjában fordítja el. A pozitív forgatás az, amelyik 90° után az x-ből az y-t, az y-ból a z-t, a z-ből az x-et adja — ez a ciklikus sorrend: $x \to y \to z \to x$ . Ha a forgatás tengelye feléd mutat, a pozitív forgatás az óramutatóval ellentétes; ha a tengely tőled elfelé mutat, ugyanaz a forgatás az óramutató járásával egyezőnek látszik. Ezért pozitív a síkbeli feladatokban az óramutatóval ellentétes nyomaték: a z tengely a lapból feléd mutat.

A 3D jelenet betöltése…

Tessék játszani veleHincz–Németh 2.1.3

A könyv megjegyzi: ha csak vízszintes és függőleges tengelyeket engedünk meg, az x tengely 6 irányba mutathat (jobbra, balra, fel, le, felénk, tőlünk el), az y a maradék 4-be, a z-t pedig a jobbkezesség már egyértelműen megadja: ez 6 · 4 = 24 kombináció (a könyv számolásával $3 \times 2 \times 4 = 24$ : három tengelypár, két sorrend, négy állás). „Mindet nem nézzük végig, tessék játszani vele.” — a fenti jelenetet forgatva mindet végig tudod nézni: forgasd úgy, hogy az x balra, az y feléd mutasson, és nézd meg, merre áll a z.

Alapok

Mértékegységek és számítási pontosság

Az erő egysége a newton (N), a gyakorlatban leginkább a kilonewton (kN). A nyomaték egysége ennek megfelelően Nm vagy kNm, a megoszló teher intenzitásáé kN/m. Egy átlagos ember súlya nagyjából 0,8 kN, egy személyautóé 15 kN körül van — érdemes ilyen viszonyítási pontokat fejben tartani, mert azonnal kiszűrik a nagyságrendi hibákat.

A számítás során végig négy értékes jeggyel dolgozunk, és csak a végeredményt kerekítjük. Ha közben kerekítesz, a hiba felhalmozódik: egy háromlépéses feladatnál ez már a második tizedesjegyet is elronthatja.

A mértékegységek elé írt prefixum (előtag) mindig 10 valamelyik hatványa: 530 cm = 530 · 10⁻² m = 5,3 m. Prefixumot nem halmozunk: 1000 MPa nem „1 kMPa”, hanem 1 GPa; 1000 kg pedig nem „1 kkg”, hanem 1 t (tonna) — a kilogramm alapegység már tartalmaz egy prefixumot.

Előtag	Jele	Szorzó	Példa
giga-	G	$10^{9}$	1 GPa = 1000 MPa
mega-	M	$10^{6}$	1 MN = 1000 kN
kilo-	k	$10^{3}$	1 kN = 1000 N
deci-	d	$10^{-1}$	1 dm = 0,1 m
centi-	c	$10^{-2}$	1 cm = 0,01 m
milli-	m	$10^{-3}$	1 mm = 0,001 m
mikro-	µ	$10^{-6}$	1 µm = 0,000 001 m

Ökölszabály

A részeredményeket hagyd a számológép memóriájában, és csak a válasznál kerekíts. A leadott eredménynél mindig írd ki a mértékegységet is — nélküle a szám önmagában értelmetlen.

Átváltások, amik folyton kellenek

1\ \text{kN} = 1000\ \text{N}

erő

1\ \text{kNm} = 1000\ \text{Nm}

nyomaték

1\ \text{kN/m} \cdot \text{m} = 1\ \text{kN}

megoszló teher eredője

G = m\,g,\quad g = 9{,}81\ \text{m/s}^2

tömegből súlyerő

G = V \rho\, g = V \gamma

térfogatból súly (γ: térfogatsúly)

1\ \text{t} = 1000\ \text{kg} \;\Rightarrow\; G \approx 9{,}81\ \text{kN}

1 tonna tömeg súlya a Földön

360^\circ = 2\pi\ \text{rad},\quad 1\ \text{rad} \approx 57{,}30^\circ

fok és radián

Tömeg és súly — nem ugyanaz

A tömeg (kg, t) a test tehetetlenségének mértéke, a súly (N, kN) pedig erő: a gravitációs vonzásból ered, $G = m\,g$ . A kettő összefügg, de nem azonos fogalom. A tankönyv holdbázisos példája: a Holdon a gravitációs gyorsulás a földinek nagyjából a hatoda, így egy ládát ott hatod akkora erővel lehet felemelni — a tömege viszont ugyanannyi marad. Statikában mindig erővel számolunk: ha a feladat tömeget ad meg, első lépésben súlyt csinálsz belőle.

Szögeknél a fok mellett a radián is előfordul: az ívhossz és a sugár hányadosa, ezért dimenziótlan. Az átváltást a teljes körből jegyezd meg: $360^\circ = 2\pi\ \text{rad}$ . A számológépen ellenőrizd, melyik módban van (DEG / RAD) — a sin 30 két módban két különböző számot ad.

B1. ábraUgyanaz az 1 t tömeg a Földön 9,81 kN, a Holdon 1,62 kN súlyú.

Kerekítés: négy értékes jegy

Az eredményt tizedes tört alakban adjuk meg, sosem közönséges törtként (a 7/11 pontosnak tűnik, de a bemenő adatok maguk sem pontosak). A tankönyv szabálya: a legnagyobb helyi értékű, nem nulla számjegyet és az azt követő hármat írjuk le, azaz négy értékes jegyet; ha az ötödik jegy 5, 6, 7, 8 vagy 9, felfelé kerekítünk, egyébként lefelé.

A 2,34 és a 2,340 nem ugyanaz: a 2,34 kerekítés nélküli érték, a 2,340 viszont azt mondja, hogy a valódi szám 2,3395 és 2,3405 közé esik. A záró nulla tehát információ — a kerekítés jelzi a pontosságot. És a szabály független a mértékegységtől: a 0,0002345 km, a 0,2345 m és a 234,5 mm nem csak ugyanakkora, hanem ugyanolyan pontos is.

B2. ábra1 radián az a szög, amelyhez a sugárral egyenlő hosszú ív tartozik; a teljes kör 2π rad.

Kerekítő · négy értékes jegy

Írj be egy számot:(tizedesvesszővel vagy ponttal)

A beírt szám

0,2345

vastag: a négy értékes jegy · narancs: az ötödik, döntő jegy

Négy értékes jegyre

0,2345

Ennek a számnak csak 4 értékes jegye van, ötödik nincs — nem kellett kerekíteni. Ilyenkor a tankönyv szerint kevesebb jegyet írunk le: a 2,34 kerekítés nélküli érték, míg a 2,340 azt jelenti, hogy a valódi szám 2,3395 és 2,3405 közé esik. A nullát a végére csak akkor írd, ha tényleg kerekítettél.

Független a mértékegységtől

Ha a beírt szám méterben van, ugyanez a hossz kilométerben és milliméterben — négy értékes jegyre kerekítve mindhárom ugyanazokat a jegyeket adja, tehát a pontosságuk is azonos:

elérhető

Térbeli kényszerek és hat egyensúlyi egyenlet, háromlábú bakállvány, befogott térbeli konzol, térbeli rácsos tartó, térbeli igénybevételek.

még nem kezdted el

Megnyitás →

összesen

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

Nyomtatható összefoglaló modulonként, plusz a tankönyv nyelve.

→