Súlypont

Képzeld el, hogy egy vékony, egyenletes vastagságú lemezt a súlyereje terhel. Minden apró $dA$ darabkára ugyanolyan irányú, a területével arányos $dG = \gamma\,dA$ erő jut: ez egy párhuzamos erőrendszer, aminek az eredőjét a 2. modulban már meghatároztuk. Az eredő hatásvonala egy ponton megy át — és ha a lemezt elforgatjuk, az új hatásvonal is ugyanezen a ponton megy át. Ez a pont a súlypont, jele $S$. Mivel a helyét csak a geometria szabja meg, homogén lemeznél a terület súlypontjáról beszélünk.

Keresztmetszeteknél az $y$–$z$ síkban dolgozunk: az $x$ tengely a rúd hossza mentén, kifelé mutat a rajzból, az $y$ tengely balra, a $z$ tengely lefelé. A teljes területet gondolatban elemien kicsiny $dA$ darabokra bontjuk ($A = \int_A dA$), és minden darabot megszorzunk a tengelytől mért előjeles távolságával. Az így kapott összeg — a megoszló erőknél felírt nyomatéki egyenlet bal oldalának pontos mása — az idom statikai nyomatéka az adott tengelyre; a tankönyv a másik nevét is megadja: elsőrendű nyomaték, mert a távolság az első hatványon szerepel benne.

Ez a visszafelé olvasott képlet a gyakorlati munka kulcsa: egy téglalap, egy kör, egy negyedkör súlypontját fejből tudjuk, tehát a statikai nyomatékukat sosem integráljuk, hanem terület × a súlypont távolsága szorzatként írjuk fel — részenként, aztán összeadjuk (4.5). Ezért van a táblázatban $A_i z_i$ oszlop.

A statikai nyomaték nem az idom sajátja, hanem az idomé és a tengelyé: ha máshova tesszük az origót, más szám jön ki. Szerencsére a változás nagyon egyszerű. Legyen az $O'$ rendszerben ismert $S_{y'}$ és $S_{z'}$, és toljuk el az origót az $O''$ pontba, amelynek koordinátái $O'$-ben $(y_0;\ z_0)$. Minden $dA$ darab új koordinátája a régiből az eltolás levonásával adódik (tankönyv 9.11): $y'' = y' - y_0$, $z'' = z' - z_0$. Ezt beírjuk a definícióba:

Szavakkal: a statikai nyomaték az eltolás × terület szorzatával változik, előjelesen — és vele lineárisan. Két következménye van, és mindkettőt a modul további részében használjuk:

• A súlyponti tengelyre nulla. Ha az origót éppen a súlypontba toljuk ($z_0 = z_S = S_{y'}/A$), akkor $S_{y''} = S_{y'} - z_S A = 0$. Ez a 4.2-beli definíció másik oldala.
• Átváltás a súlyponti rendszerbe. A súlyponti tengelyekre vonatkozó koordináta a külsőből az eltolás levonásával kapható: $y = y' - y_S$, $z = z' - z_S$ — a szilárdságtanban a másodrendű nyomatékhoz ezt a rendszert fogod használni.

Integrálni a gyakorlatban sosem kell: néhány alapidom súlypontját fejből tudjuk, minden mást ezekből rakunk össze. A téglalap súlypontja a közepe. A háromszögé minden oldaltól a magasság harmadára van — derékszögű háromszögnél ez azt jelenti, hogy a derékszögű csúcstól mindkét befogó mentén a harmadára. A kör súlypontja a középpontja. A félkör és a negyedkör súlypontja az egyenes éltől (a kör középpontjától) $4R/3\pi \approx 0{,}4244\,R$ távolságra esik — a negyedkörnél mindkét egyenes éltől.

A tankönyv 9.4. ábrája a kör alakú idomokat átmérővel is megadja, mert a feladatok gyakran $D$-t adnak meg: kör $A = R^2\pi = D^2\pi/4$, félkör $A = R^2\pi/2 = D^2\pi/8$, negyedkör $A = R^2\pi/4 = D^2\pi/16$. A súlypont távolsága átmérővel $4R/3\pi = 2D/3\pi$. Első lépésként mindig írd fel $R = D/2$-t — aki az átmérőt sugárnak nézi, négyszeres területet kap.

Egy összetett idom statikai nyomatéka a részek statikai nyomatékainak összege — az integrál részterületenként végezhető, ahogy párhuzamos erők nyomatéka is összeadódik (tankönyv 9.17–9.19). Minden rész statikai nyomatéka a 4.2-beli szorzat: $S_{iy} = A_i z_i$. Ezért a recept: bontsd fel az idomot alapidomokra, írd fel minden rész területét és a saját súlypontjának a közös origótól mért koordinátáit, szorozd össze, add össze, oszd el az összterülettel. A felbontás nem egyértelmű, és nem is kell annak lennie: bármelyik felbontás ugyanazt az eredményt adja.

A tankönyv 9.5. ábrája ezt a számítást egy táblázatba rendezi: soronként egy rész ($i$, $A_i$, a súlypont két koordinátája, a két szorzat), alul az oszlopok összege, legalul az osztás. Pontosan ezt a táblázatot kéri a gyakorlaton — szokj rá, hogy ebben dolgozol, mert egy elrontott koordináta így azonnal látszik. Íme a GYF‑4 T-szelvénye ebben a formában:

Ha az idomnak van szimmetriatengelye, a súlypont rajta van — az egyik koordinátát tehát nem kell számolni. Az indoklás a definícióból jön: a tengely két oldalán fekvő tükörképi részek statikai nyomatéka a tengelyre egymás mínusz egyszerese, az összeg tehát nulla — és ahol a statikai nyomaték nulla, ott a súlypont tengelye van. A T-, I- és U-szelvénynél ez azonnal megadja $y_S$-t. Két szimmetriatengelynél (téglalap, kör, I-szelvény) a súlypont a metszéspontjuk, számolás nélkül.

Az eredményt mindig nézd meg: a súlypont az idom befoglaló téglalapján belül van, és a nagyobb részek felé húz. Nem kell viszont az anyagon belül lennie: egy L-szelvény, egy U-szelvény vagy egy körgyűrű súlypontja a levegőben van — attól még ez a súlypont.

A 3. modulban a megoszló teher eredője a teherábra súlypontján ment át — ugyanez a képlet, csak ott „terület” helyett „kN” volt a mértékegység. A súlypont ennél is többször tér vissza: a keresztmetszet hajlításnál a súlyponton átmenő tengely körül „forog”, és a súlyponti tengelyre a statikai nyomaték éppen nulla (4.2–4.3). A tankönyv ezért a vesszőtlen $xy$ (nálunk $yz$) koordináta-rendszert a súlyponti rendszernek tartja fenn: a szilárdságtanban a másodrendű (tehetetlenségi) nyomatékot ezekre a tengelyekre számolod, a külső tengelyekről az $y = y' - y_S$, $z = z' - z_S$ átváltással jutsz oda. Ezt a tulajdonságot a szilárdságtan egész félévében használni fogod.